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一、证明题

1．

利用不等式

为有界数列. 【答案】由不等式令

则有b>a>0.于是

因此，

为递减数列，由此推出

于是

2． 证明

：

【答案】令

则

于是

3． 证明曲线

【答案】设

上任一点的法线到原点距离等于a.

所对应的点为

则

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证明：得到

为递减数列，

并由此推出

即为有界数列.

在

时，

内严格递增

即

故f (x )

在内严格递增，

当

法线斜率为所以过点的法线方程为

化简得

原点(0, 0) 到法线的距离

二、解答题

4． 求三叶形曲线

所围图形的面积。

【答案】如图所示，所围图形的面积为

图

5． 讨论下列函数列在所定义区间上的一致收敛性及极限函数的连续性、可微性和可积性：

【答案】⑴

所以由

.

的极限函数

设

间

则

上不一致收敛.

由

上可积

.

所以

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可知

在

上连续，可微且可积.

在上不连续，

又

在

在上连续，

从商

在

不连续可得，上不可微，显然在任意有限区

由可积.

6． 设f 为则有

可知

在上连续、可微，在任意有限区间上

内的递增函数. 证明，若存在数列

且使得

【答案】先证f （x

）在

从而此时有.

设

时

，

则对任给的

故

则

由存在

由

f x ）于是（在

内有界.

由

得

知，

对亍

存在

使得当

时使得当

时

由极限保号性知，

存在

.

取

时，

则

当

的递增性知，此

时有使得由归结原则得

于是，当

f x ）内有上界. 由确界原理知，（有上确界. 令

于是B=A, 即

7． 设果

是非负函数，在上二阶可导，且求证：方程在内如

有根，就只能有一个根. 【答案】设

使得

首先有.

事实上，由假设

其次，假定存在证明可得

再在

这与 8． 计算

【答案】

在任何不包含原点的区域内均有

因此对任何完全落在L 内部且包含原点的封闭曲线C ，在L 和C 所夹的区域内应用格林公式，有

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（不妨设上对，

使得）那么根据上述使得

用罗尔中值定理，则存在

的假定矛盾.

其中L 是椭圆

方向沿逆时针方向.