2017年曲阜师范大学数学科学学院750数学分析A考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设a>0，b>0, 证明
：
【答案】构造函数
展开可以证明，
所以又因为
所以原命题成立.
2． 若
在R 上存在三阶连续导数，且
有
证明:将
.
至多是二次多项式.
在x 处作泰勒展开
将上两式代入所给的等式中，比较两端可得
当
时，有
由三阶导数的连续性，有
3． 证明：函数
【答案】因为由于当
1时，
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递增.
【答案】只需证：
在点(0, 0) 连续但偏导数不存在.
所以函数
在点(0, 0) 连续.
极限不存在，因而z (x ，y ) 在点(0, 0) 关于x 的偏导数不存在. 同理可证它关于y 的偏导数也不存在.
二、解答题
4． 计算下列第二型曲面积分：
(1) (2
)
(3) (4
)
和球面
(5
)
取外侧； 其中是抛物面
方向取上侧； 其
中
为锥
面
其中为锥面
的外侧； 其
中
是闭曲
面
所围立体表面的外侧，f (u ) 具有连续导数； 其
中
是三维空间中xy 平面上的曲线
段
绕y 轴旋转而成的曲面，方向取右侧；
(6
)
其中
是平行六面体
的表面并取
外侧，f (x ) , g (y ) ，h (z ) 为上的连续函数；
(7)
【答案】(1)
补充平面式得
而
所以
(2) 闭曲面是由八个平面由高斯公式得
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其中为椭球的表面，取外侧.
取其上侧，
设与
围成的区域为
则由高斯公
组成，其围成的立体为取外侧，
令
则
区域在此变换下变为区域由对称性知，原式
(3) 用
表示以原点为中心、记
为平面z=0上满足成的区域，则由高斯公式得
为半径的上半球面，取上侧，取充分小，使
的部分，取下侧，表示曲面
在的内部.
围
而
取
为平面
取下侧，则由高斯公式得
故原式
(4) 由高斯公式得 原式
其中
为锥面
和球面
区域变为
于是原式
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所围成的立体.
作球坐标变换
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