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一、证明题

1． 用有限覆盖定理证明聚点定理.

【答案】设有界无限点集中每一点均

不

是则

为

的聚点，

则

使得

由于在

中至少有一个聚点.

2． 设正项级数

【答案】因为反之未必成立. 如

收敛，证明

收敛，故

亦收敛；试问反之是否成立？

所以收敛，而

由比较原则可知级数发散.

则在

【答案】由复合函数求导法则可得

由

得

故当X=1时

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显然若有聚点，则必含吁

使

得

中. 假设

为有限点集.

记中有限个邻

域

的一个开覆盖，由有限覆盖定理知，存

在

. 为有限点集所以由上式知为有限点集，与假设矛盾. 故

收敛.

3． 设函数f 在点x=l处二阶可导. 证明：若

处有

4． 设a ，b ，

【答案】由于当

(表示全体正实数的集合) . 证明

故只需对

的情形进行证明.

你能说明此不

等式的几何意义吗？

时，原不等式化为

上式等价于

两边平方，得

即

由于即

当

所以上式等价于

时，这个不等式是成立的. 所以原命题成立.

的两边之

题中不等式的几何意义如图所示，其中AB=a, BD=b, BC=c.其几何意义表示差小于第三边

.

图

5． 验证

【答案】因为

所以

而当

时，有

即 6． 设

【答案】设. 时，

有

且aN时，有因为b>a，所以又由于

由于对于

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是在上的一个原函数。

因而

即是在R 上的一个原函数。

存在正整数

使得当

使得当时，有

对于存在正整数

取

由此推出，当n>N时

当n>N时，同时有

. 故当n>N时，有

7． 用确界原理证明有限覆盖定理.

【答案】

对闭区间

所以存在一个开区间

间覆盖，从而

若这与

，

则

矛盾.

故

即

可被H 中的有限个开区间覆盖.

即

由

的任一开覆盖

使得

覆

盖则

用类似的方法可以证明

构造数集如上，

显然有上界. 因为

覆盖闭区间

取

使

得

取加进去可知

使

得

知，存

在

则

能被

中有限个开区

非空. 由确界原理知，存在

能被中有限个开区间覆盖，把

二、解答题

8． 设函数

立等式

【答案】因为

同理所以由间以

9． 求方程

得

故使

的点是满足方程

的点，即空

为球心，1为半径的球面上的点都有

恰有三个实根的条件. . 如图所示

.

其中

. 求的梯度，并指出在空间哪些点上成

【答案】令

图

由图可见，当

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恰有三个实根.