2017年曲阜师范大学数学科学学院750数学分析A考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
试证： (1) 存在(2) 存在
使
. 使
满足
使得
故存在(2)
令
罗尔
定理，存在再令使得
2． 设级数
并改写. 即得
收敛，证明
也收敛.
使得
则因为
使注意到
因为
. 所以根据
在
上一阶可导，在
内二阶可导，
【答案】(1) 依题意，存在
【答案】因为
I
又
及
收敛，故
收敛，所以由比较原则得
：收敛.
3． 按定义证明下列极限：
(1
) (4
)
(2)
由
得
取
则当\>厘时，有
故
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(3
)
【答案】(1) 对任意给定的
(2
) 限制
则
只要取
则当
时，有
于是，对任意给定的故(3
)
对任意给定的
取
，由
得
则当|x|>M时有
它成立的一个充分条件是
故(4
)
若限制0<2—x 对任给的 故 取 则当 时，有 二、解答题 4． 求下列幂级数的收敛半径，并讨论区间端点的收敛性： 【答案】⑴ 在端点 . 处，级数为 因为 使得 又在端点 所以在端点处，级数为 处原级数收敛. 因为 所以在端点(2 ) 处原级数绝对收敛. 在端点 处，级数为 第 3 页，共 21 页 因为 所以级数的一般项不趋于零，从而在端点散. 5． 讨论下列函数的连续性： 【答案】(1) 当当y=0时，由(2 ) 当 为有理数时， 则 那么 当为无理数时， 那么 由此可见，欲使 ， 上 连续. 6． 应用格林公式计算下列曲线所围的平面面积：(1) 星形线 【答案】(1) 由于星形线的对称性， (2) 设双纽线所围的面积为S , 双纽线的极坐标方程为 且图形关于y 轴对称的，因此 (2) 双纽线 当且仅 当 故f (x , y ) 仅 在 I 时，f (x ，y ) 显然连续. 知，f (x , y ) 在点(0, 0) 连续. 知，f (x ，y ) 在点 由 不连续. 处原级数发散. 同理在端点 处，原级数发 第 4 页，共 21 页