2017年福建师范大学数学与计算机科学学院839数学分析之数学分析考研导师圈点必考题汇编
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2017年福建师范大学数学与计算机科学学院839数学分析考研导师圈点必考题汇编（一） ... 2 2017年福建师范大学数学与计算机科学学院839数学分析考研导师圈点必考题汇编（二） ... 6 2017年福建师范大学数学与计算机科学学院839数学分析考研导师圈点必考题汇编（三） . 11 2017年福建师范大学数学与计算机科学学院839数学分析考研导师圈点必考题汇编（四） . 14 2017年福建师范大学数学与计算机科学学院839数学分析考研导师圈点必考题汇编（五） . 19
一、证明题
1． 设
证明
【答案】方法一令 变换的雅可比行列式为
所以
方法二因
对内层积分作定积分变换
2． 证明：若单调数列
【答案】设即对一切正整数
于是
3． 设则必是
含有一个收敛子列，则
收敛，则
对任意的正整数n ，
由于这说明数列
收敛.
是有界的. 设正数M 是是
. 谢一个上界，
的子列，所以存在正整数s ，
使得
收敛. 则
单调递増，它的子列
是有上界的. 由单调有界定理知，数列
在区间Ⅰ上连续，并且在Ⅰ上仅有惟一的极值点在Ⅰ上的最大(小) 值点。
证明：若是的极大(小) 值点，
在I 上的最大值点，
【答案】用反证法，只对是f 的极大值点的情形进行证明. 假设不是
则存在一点
使
取
使得(
不妨设则当
) 。由连续函数的最大最小值定理知
，
而是
时，
的一个极大值点，所以存在
即是
在
上存在最小值m 。因为
的一个极小值
点，这与在I 上仅有惟一极值点矛盾. 故原命题成立。
4． 设函数f 在上连续，且与为有限值. 证明：
(1) f 在(2) 若存在【答案】(1) 令
因为f 在(a , b ) 连续，所以F (x )
在界，即f 在(a , b ) 上有界.
(2) 因为F (x ) 在[a, b]上连续，所以F (x ) 在[a, b]上能取到最大值. 又因为
即
在(a , b ) 内取得，即f (x ) 在
(3) 由(1) 知
5． 设f 为
(1)
(2)
上的连续函数，证明： 在在
上收敛；
上一致收敛的充要条件是
上连续，故f 在
即
在
上收敛，且收敛于
(2) 必要性
函数
因为
当
在
上连续，从而
分成两部分讨论.
又因
处连续，故对任意
当
时，有
内有界；
使得
则f 在(a , b ) 内能取到最大值；
(3) f 在(a , b ) 上一致连续.
连续•因此F (x ) 在[a, b]上有界，所以F (x ) 在(a , b ) 上亦有
使
上的最大值可以
所以F (x )
在
内能取到最大值. 上连续，所以F (x )
在
上一致连续. 显然f (x ) 在(a , b ) 上一致连续.
在
上有界，设
所以
【答案】(1) 因f 在
上连续及
在上一致收敛，可得其极限
充分性 可考虑将
故时，
存在
故对上述
的
当
6． 证明：若函数f 在有一点
使
使
使
得可得
故
7． 证明：当且仅当存在各点互不相同的点列
【答案】充分性若存在有
当充分大时
点，这说明
必要性若取
含有
的无穷多个点，
又
从而
中含有E 中无穷多个
则
1
是E 的聚点.
是E 的聚点，则对任给的
中含有E 中的点，取出一个，
记为则
这样继续下去，得到一个各项互异的点列
易见
依此类推，
取
中含有E 中的点，取出一个，记为
则
中必含有E 中的点，取时，则对任给的
时
是E 的聚点.
时，
这与题
设
矛盾. 故
在
内至少存在一
点
使
则当
使得
这与假设矛盾. 设
当
时，
总成立. 否则，若存在：
根据连续函数的介值定理，存
在
再由存在N ,
当时，任意的
上连续，且
时，对一
切有
故
总
有
所以
，
上一致收敛. 则在
内至少
【答案】用反证法. 如果在(a ，b ) 内不存在
总存在N ，使得
中含有E 中的点，取出一个，记为
二、解答题
8． 设定义在
上的函数，在任何闭区间[a, b]上有界. 定义
上的函数：
试讨论m （x ）与M （x ）的图像，其中 （1）
（2）
【答案】（1）如果把x 看作时间，那么m （x ）表示从t=a到t=x期间f （x ）的下确界（有时是最小值）.M （x ）则表示从t=a到t=x期间f （x ）的上确界（有时是最大值）. 函数f （x ）=cosx在区间
内单调递减到最小值一1，并且f （0）是它的最大值. 于是，当
时，m （x ）