当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 设

为来自指数分布

的样本，

为来自指数分布

的样本，且两组

样本独立，其中

（1）求假设

是未知的正参数.

的似然比检验；

（2）证明上述检验法的拒绝域仅依赖于比值（3）求统计量

在原假设成立下的分布.

【答案】样本的联合密度函数为

参数空间分别为

下参数的最大似然估计

为

则似然比统计量为

而

在

由微分法容易求出在

下参数的最大似然估计

为

由求导可知，函数为

或者

这就证明了（2）的结论.

为先减后増的单峰函数，故此似然比检验拒绝域可等价写

注意到指数分布、伽玛分布与卡方分布间的关系，可得

再注意到

诸

2． 设

与

诸

是来自泊松分布

的一个样本.

第 2 页，共 38 页

间的独立性，在原假

设成立下，有如下抽样分布

：

（1）利用泊松分布的充分统计量对如下检验问题

在显著性水平为时给出其拒绝域；

（2）证明（1）中的拒绝域也是如下检验问题

的显著性水平为的显著性检验的拒绝域；

（3）在样本量n 较大时，利用中心极限定理给出近似的拒绝域. 【答案】（1）泊松分布

的充分统计量是，它是的无偏估计. 若原假设

成立，

则不应该很大，因此，当较大时，就应该拒绝原假设

所以此检验的拒绝域应有如下形式

其中c 应由给定的显著性水平确定，即c 由下列概率不等式确定

或

由于原假设成立下

则由

可得

不是一件易事.

（2）若将上述拒绝域作为（2）检验问题的拒绝域，我们只需要证明该检验的势函数是单调增的即可说明它也是（2）的显著性水平为a 的显著性检验. 此处该检验的势函数为

其中m 为如下整数

考察

的单调性，为此求其导数

所以势函数

大.

（3）当样本量n 较大时，由中心极限定理可得原假设成立时

对给定的显著性水平有

第 3 页，共 38 页

故

若令泊松分布

的

分位数为这里

的寻求还

所以在给定理时，该检验的拒绝域为

是的严格増函数. 由此可知，

在原假设

上

在处达到最

的渐近分布

即拒绝域W 中的临界

值

即当n=10时，若 3． 设

【答案】由

服从均匀分布

可知

试证

及

则应拒绝原假设

譬如

，，n=10

和时，

有

都是的无偏估计量，哪个更有效？

的密度函数分别为

从而

故，由又可算得

从而

故

4． 设总体为韦布尔分布

即

更有效.

知两者均为的无偏估计.

事实上，这里x （3）是充分统计量，这个结果与充分性原则是一致的.

其密度函数为

现从中得到样本

证明

仍服从韦布尔分布, 并指出其参数.

为

因而最小次序统计量这说明.

的分布函数为

5． 试验证:以下给出的两个不同的联合密度函数, 它们有相同的边际密度函数

.

【答案】因为当

时, 有

第 4 页，共 38 页

【答案】由总体分布的密度函数可得总体的分布函数