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一、证明题

1． 设随机向量（

令

证明:

两两不相关的充要条件为

则

同理可得

由此得必要性:若由此得

2． 从同一总体中抽取两个容量分别为mm 的样本, 样本均值分别为

, 将两组样本合并, 其均值、方差分别为

【答案】设取自同一总体的两个样本为由

得

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）间的相关系数分别为且

【答案】充分性:若

两两不相关.

两两不相关, 则由上面的推导可知

,

样本方差分别为

证明:

由得

3． 设总体X 的分布函数为

【答案】设

经验分布函数为试证

的样本, 则经验分布函数为

是取自总体分布函数为

若令于是

则是独立同分布的随机变量, 且

又可写为, 故有

4． 若P （A ）=1，证明：对任一事件B ，有P （AB ）=P（B ）.

【答案】因为

所以由单调性知

从而得

又因为

所以有P （B ）-P （AB ）=0，即得P （AB ）=P（B ）.

5． 设随机变量X 与Y 相互独立, 且方差存在。证明:

【答案】

6． 设

【答案】由

服从均匀分布

可知

试证

及

都是的无偏估计量，哪个更有效？

的密度函数分别为

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从而

故，由又可算得

从而

故

7． 设（

即

更有效.

知两者均为的无偏估计.

事实上，这里x （3）是充分统计量，这个结果与充分性原则是一致的.

）为n 维随机变量, 其协方差矩阵

存在. 证明:若

使得

,

则以概率1

在各分量之间存在线性关系, 即存在一组不全为零的实数

【答案】由于使得

另一方面,

意味着B 非满秩, 故存在一组不全为零的实数向量

方差为零的随机变量必几乎处处为常数, 故存在常数a , 使得

8． 证明:若

则对

有

并由此写出

与

其

中

【答案】由t 变量的结构知, t 变量可表示

为

且u 与v 独立, 从而有

由于

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