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一、证明题

1． 设随机变量X 服从参数为2的指数分布，试证

：都服从区间（0，1）

上的均匀分布.

【答案】因为X 的密度函数为

又因为

的可能取值范围是（0，1）

，且是严格单调减函数，其反函数为

所以

的密度函数为

即

又

由

也服从区间（0，1）上的均匀分布. 结论得证.

2． 设为一事件域，

若

试证： （1）

（2）有限并 （3）有限交

（4）可列交 （5）差运算

【答案】（1）因为为一事件域，所以

故其对立事件

（2）构造一个事件序列

其中

由此得

（3）因为所以

由

得 （4）因为所以

由

得

（5）因为

所以

由（3）（有限交）得

3． 设随机变量X 的密度函数p （x ）关于c 点是对称的，且E （X ）存在，试证：

（1）这个对称中心c 既是均值又是中位数，即

知

（2）如果c=0，则

因此

【答案】（1）由p （x ）关于c 点对称可知：

所以得又由

所以

（2）当c=0时，

由此得

又由

由此得结论. 4 来自正态总体．对称, 且

【答案】记正态分布的样本中位数

的密度函数为

令

此变换的雅可比行列式的绝对值

于是y 的密度函数为

其中可得

这表明密度函数与E

是偶函数, 从而

g x ）的密度函数（关于对称, 同时还有

与

分别是标准正态分布N （0, 1）的分布函数与密度函数, 依据它们的性质

的容量为

f X ）, 则容量为n=2k+l的分布函数与密度函数分别为F （x ）与（

的样本中位数是

证明

的密度函数关于

5． 设相互独立, 服从

证明:

令

相互独立, 且

服从

【答案】令, 则

再令, 则

所以变换的雅可比行列式为:

计算该行列式, 可得

因为,

把雅可比行列式代入上式可得

由此可知

6． 设

相互独立, 且

为来自指数分布

服从的样本，

为来自指数分布

的样本，且两组

样本独立，其中

（1）求假设

是未知的正参数.

的似然比检验；

（2）证明上述检验法的拒绝域仅依赖于比值（3）求统计量

在原假设成立下的分布.

【答案】样本的联合密度函数为