2017年太原理工大学数学学院883概率论与数理统计考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 任意两事件之并
可表示为两个互不相容事件之并，譬如
【答案】⑴
（2）利用加法公式可得
2． 设随机变量X 服从（1, 2）上的均匀分布, 在X=x的条件下, 随机变量Y 的条件分布是参数为x 的指数分布, 证明:XY 服从参数为1的指数分布.
【答案】因为令
则
的逆变换为
, 所以
此变换的雅可比行列式为
所以（U , V ）的联合密度函数为
由此得U=XY的边际密度函数为
这表明:U=XY服从参数为1的指数分布.
3． 如果
【答案】记因为
, 试证:
与X 的分布函数分别为
, 故存在
, 使当
和时, 有
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（1）试用类似方法表示三个事件之并（2）利用（1）的结果证明
. 对任给的
取足够大的和
使
是F （x ）的连续点, 且
令而
, 因为, 故存在使当
, 时, 有
由M 的定义即可知当
_时, 有
因而
4． 设
，试证
：
, 由的任意性知
结论得证.
, 所以有
而对于
【答案】因为X 的密度函数为
又因为Y=In X 的可能取值范围为单调增函数，其反函数为
且
是区间
上的严格
所以Y 的密度函数为
这正是
5． 证明:若
的密度函数. 则对
有
并由此写出与
其
中
【答案】由t 变量的结构知, t 变量可表示
为
且u 与v 独立, 从而有
由于
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将两者代回可知, 在时, 若r 为奇数, 则若r 为偶数, 则
证明完成. 进一步, 当r=l时
, 时,
6． 设
（1）（2）（3）
（此时要求
（此时要
求否则方差不存在）.
否则均值不存在）, 当r=2
是取自某总体的容量为3的样本，试证下列统计量都是该总体均值的无偏估计，
在方差存在时指出哪一个估计的有效性最差？
【答案】先求三个统计量的数学期望，
这说明它们都是总体均值的无偏估计，下面求它们的方差，不妨设总体的方差为
不难看出
由此可推测。当用样本的凸组合
从而
的有效性最差.
则
估计总体均值时，样本均值是最有效的。
7． 设随机变量X 服从负二项分布，其概率分布为
证明其成功概率p 共轭先验分布族为贝塔分布族. 【答案】取成功概率p 先验分布为
则
与的联合分布为
所以，
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