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一、计算题

1． 设A ，B ，C 为三事件，试表示下列事件：

（1）A ，B ，C 都发生或都不发生： （2）A ，B ，C 中不多于一个发生； （3）A ，B ，C 中不多于两个发生； （4）A ，B ，C 中至少有两个发生. 【答案】⑴（2）（3）（4）

2． 设

与

独立同分布, 其共同分布为

试求

与

的相关系数,

其中3与13为非零常数.

【答案】先计算Y 与Z 的期望、方差与协方差

.

然后计算Y 与Z 的相关系数

.

3． 从一副52张的扑克牌中任取5张，求其中黑桃张数的概率分布.

【答案】记X 为取出的5张牌中黑桃的张数，则X 的可能取值为0，1，2，3，4，5. 将52张牌分成两类：一类为13张黑桃，另一类为39张除黑桃外的其他花色，则由抽样模型得

4． 有三个朋友去喝咖啡，他们决定用掷硬币的方式确定谁付账：每人掷一枚硬币，如果有人掷出的结果与其他两人不一样，那么由他付账；如果三个人掷出的结果是一样的，那么就重新掷，一直这样下去，直到确定了由谁来付账. 求以下事件的概率：

（1）进行到了第2轮确定了由谁来付账； （2）进行了3轮还没有确定付账人. 【答案】记X=所掷的轮数，则

其中

1-p=P（重新掷）=P（出现三个正面或出现三个反面）

所以

（1）第2轮确定由谁来付账的概率为

（2）进行了3轮还没有确定付账人的概率为

5． 在遗传学研宄中经常要从截尾二项分布中抽样，其总体概率函数为

若已知m=2,

是样本，试求p 的最大似然估计.

的样本中有个为1,

有

【答案】当m=2时，该截尾二项分布只能取1与2, 不妨设个为2，则其似然函数为（忽略常数）

对数似然函数为

将对数似然函数关于p 求导并令其为0得到似然方程

解之得

后一个等式是由于

所以

代入上式即得. 的密度函数.

6． 设随机变量X 服从区间（1，2）上的均匀分布，试求

【答案】X 的密度函数为

2）由于X 在（1，内取值，所以2）上为严格单调増函数，其反函数为函数为

的可能取值区间为1

，

且

且

所以

在区间（1，

的密度

7． 掷一颗骰子60次，结果如：

表

试在显著性水平为0.05下检验这颗骰子是否均匀.

【答案】这是一个分布拟合优度检验，总体总共分6类. 若记出现点数i 的概率为的假设为知，

检验的统计量为

由于

未落入拒绝域，故不拒绝原假设. 在显著性水平为0.05下可以认为这颗骰子是均

匀的. 此处检验的p 值为

8． 一商店经销某种商品, 每周进货量X 与顾客对该种商品的需求量Y 是相互独立的随机变量, 且都服从区间（10, 20）上的均匀分布. 商店每售出一单位商品可得利润1000元；若需求量超过了进货量, 则可从其他商店调剂供应, 这时每单位商品获利润为500元. 试求此商店经销该种商品每周的平均利润.

【答案】记Z 为此商店经销该种商品每周所得的利润, 由题设知

由题设条件知（X , Y ）的联合概率密度为

于是

其中

这里k=6，

检验拒绝域为

若取

则要检验

则查表