2017年太原理工大学数学学院883概率论与数理统计考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设随机变量X 的密度函数p （x ）关于c 点是对称的，且E （X ）存在，试证：
（1）这个对称中心c 既是均值又是中位数，即（2）如果c=0，则
因此
所以得
又由
所以
（2）当c=0时，
又由
由此得结论.
2． 设二维随机变量（X , Y ）服从单位圆内的均匀分布, 其联合密度函数为
试证:X 与Y 不独立且X 与Y 不相关 【答案】先求边际密度函数
所以由又因为
和
知X 与Y 不独立.
在对称区间上是偶函数, 故
从而
所以X 与Y 不相关.
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【答案】（1）由p （x ）关于c 点对称可知：
由此得
3． 设
是来自两参数指数分布
的样本, 证明（）是充分统计量.
【答案】由已知, 样本联合密度函数为
令
4． 设0 【答案】由条件 5． 设总体二阶矩存在, 得 是样本, 证明 则 由 因而 所以 6． 证：事件A 与B 独立的充要条件是 【答案】先证必要性：因为A 与B 独立，所以再证充分性：由 ，所以A 与B 独立. 由此得P （AB ）=P（A ）P （B ） 7． 设（ ）为n 维随机变量, 其协方差矩阵 存在. 证明:若 使得 第 3 页，共 40 页 , 由因子分解定理, 是的充分统计量• 试证：A 与B 独立. 再由上题即得结论. 与 的相关系数为 【答案】不妨设总体的方差为 由于, 独立，由此得 即 则以概率1 在各分量之间存在线性关系, 即存在一组不全为零的实数 【答案】由于使得 另一方面, 意味着B 非满秩, 故存在一组不全为零的实数向量, 方差为零的随机变量必几乎处处为常数, 故存在常数a , 使得 8． 设随机变量序列证: 【答案】己知则 对任意的 由切比雪夫不等式得 即 , 结论得证. 独立同分布, 数学期望、方差均存在, 且 试 二、计算题 9． 设 为取自泊松分布 的随机样本. 的水平 的检验. 的图像. （1）试给出单边假设检验问题（2）求此检验的势函数【答案】（1）选式 为 在A=0.05，0.2，0.3，…，0.9时的值，并画出 为检验统计量，其值愈大愈倾向于拒绝注意到 在 当 c=5 时时 ， 所以，该检验问题的拒绝域形 ，从而第一类错误概率 为 当 c=6 时 ， 因此，该检验问题的拒绝域为 （2）势函数的计算公式为： 则 时的势计算如下表： 表 第 4 页，共 40 页