2017年闽南师范大学数学与统计学院913概率论与数理统计之概率论与数理统计考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 设随机变量
【答案】从
已知E （X ）=2.4，
和
求两个参数n 与p 各为多少？ 中解得n=6，p=0.4.
2． 某厂生产的化纤强度服从正态分布，长期以来其标准差稳定在σ=0.85, 现抽取了一个容量为n=25的样本，测定其强度，算得样本均值为的置信区间.
【答案】这是方差已知时正态均值的区间估计问题.
由题设条件
于是这批化纤平均强度的置信水平为0.95的置信区间为
即这批化纤平均强度的置信水平为0.95的置信区间为[1.9168, 2.5832]. 3 在垫片的耐磨试验中，，．关于磨损率有四个样本它们的样本方差与其自由度分别为
现要对“四个总体方差彼此相等”的假设作出判断.
【答案】由于四个样本量不全相等，其中有一个样本量小于5，故选用修正的Bartlett 检验进行方差齐性检验. 为此先计算一些中间结果，它们是
由此算得修正的Bartlett 检验统计量
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，试求这批化纤平均强度的置信水平为0.95
，
查表知
与样本量误差均方和
对给定的显著性水平
查表得
由于故不
拒绝原假设，可认为四个总体方差彼此相等.
4． 写出下列随机试验的样本空间：
（1）抛三枚硬币； （2）抛三颗骰子；
（3）连续抛一枚硬币，直至出现正面为止；
（4）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球；先从中取出一个，放回后再取出一个；（5）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球；先从中取出一个，不放回后再取出一个.
【答案】
⑴共含有
（2）（3）（4）（5）
个样本点，其中0表示反面，1表示正面，（3）中的0与1也是此意.
共含有
个样本点.
共含有可列个样本点.
{黑黑，黑白，黑红，白黑，白白，白红，红黑，红白，红红}. {黑白，黑红，白黑，白红，红黑，红白}.
5． 某工厂每月生产10000台液晶投影机, 但它的液晶片车间生产液晶片合格品率为80%, 为了以99.7%的可能性保证出厂的液晶投影机都能装上合格的液晶片, 试问该液晶片车间每月至少应该生产多少片液晶片？
【答案】设每月至少应该生产n 片液晶片, 其中合格品数记为X , 则有使下述概率不等式成立
利用二项分布的正态近似, 可得
查表可得
由此解得
即每月至少应该生产12655片液晶片.
6． 先抛一枚硬币，若出现正面（记为Z ），则再掷一颗骰子，试验停止；若出现反面（记为F ），则再抛一次硬币，试验停止，那么该试验的样本空间
【答案】
7． 己知
【答案】由乘法公式知
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. 下求m
是什么？
所以
8． 设一个质点落在xOy 平面上由x 轴、y 轴及直线x+y=l所围成的三角形内，而落在这三角形内各点处的可能性相等，即落在这三角形内任何区域上的概率与这区域的面积成正比，试求此质点还满足y<2x的概率是多少？
【答案】由题设知这个概率可由几何方法确定，为此将样本空间用图表出，图中阴影部分为事件A ，由图2
知
和事件A“此质点满足y<2x”
由此得
和A 的度量分别为：
图
9． 甲掷硬币n+1次，乙掷n 次. 求甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多的概率.
【答案】记
又记
由于正反面的地位是对称的，因此P （E ）=P（F ）. 又因为
所以由
得P （E ）=0.5.
此题的求解过程中利用了出现正反面的对称性. 在古典方法确定概率的过程中，对称性的应用是很常用的. 事实上，确定概率的古典方法中所谓“等可能性”，就是要使样本点处于“对称”的地位. 利用对称性的优点是可以简化运算、避开一些繁琐的排列组合的计算. 此题若直接用排列组合来计算，则相当繁琐，具体过程见下：
因为甲掷n+1
次硬币共有
种可能，乙掷n 次硬币共有种可能，
因而样本点的总数为
则所求概率
又记乙掷出k 个正面，甲掷出k+1个正面，
P （甲掷出的正面数>乙掷出的正面数）
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