2018年宁波大学理学院871高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1． 求一非零向量, 它在基
【答案】设
与
下有相同的坐标.
由于过渡矩阵是
,
可得
即
,
可解得其一般解为当
时，得一非零向量
, 取遍P 中的数.
在此两组基下坐标相同.
2． 用消元法求下列向量组的极大线性无关组与秩：
分别排为它的1, 2, 3, 4列.
【答案】作下列矩阵A , 把
对它作初等行变换化成阶梯形
.
最后的矩阵中第1, 2, 4列构成列向量组的极大线性无关组，秩为3. 而初等行变换不改变列向量之间的线性关系. 故
类似于
3． 设A ，
B 均为n 阶方阵，
【答案】故
得
类似可得，
故
可由向量组
证明：
的第1, 2
, 4列也构成的列向量组的极大线性无关组，即
是一个极大线性无关组，秩为3.
是
的一个极大线性无关组，
秩为3.
中的计算过程可得
4． 确定常数，
使向量组
线性表示
，但向量组
组
线性表示.
【答案
】解法1 记
线性表示，因此秩
所以当当
或时，
不能由
时，由于
不能由向量不能由
由
子
从而
故
线性表示，所以
可由符合题意.
线性表示，但
考虑线性方程鉬不能由
解法2记综上所述，
可得
对矩阵
作初等行变换：
由于时，
考虑线性方程组所以不能由
故所以
符合题意.
当a=-2时，
由于秩A=1秩
线性表示. 另一方面，由于有惟一解，即
可由故方程组
无解
， 线性表示，
不能由
线性表示，故秩
因此可得
或
当
因为秽
秩
所以方程组
无解，
即
线性表示，
与题设矛盾.
考虑线性方程组
我们有
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