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一、分析计算题

1．

设

证明:

设把D 的第j 行换为

得

【答案】证法1（作加边行列式），因为

所以因为

以上各项相加，得

又将D 的第j 列元素均换成1得

则

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证法2（借助代数余子式，先算出D. ，再求和）

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2．

设V 是数域P

上线性空间, 证:

是零函数时,

或是零函数.

【答案】证法1

反证法.

若于是

是V 上的线性函数,

V 到P 的函数皆不为零, 则

V 中有向量

使求

类似可得

于是

矛盾. 证法2 若

故

但是

矛盾.

3． 求下面行列式的所有根：

皆不为零,

则

是V 的真子空间, 于是

但

【答案】由加边法，在原行列式上加一行，加一列，则变为

再按最后一个行列式的第一列展开得：

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的根为

4．

设矩阵

证明：

其中

表示矩阵的秩。【答案】

先证

对矩阵作变换：

而

满秩，从而有

再证

作矩阵

同样作变换：

同样地也有：

由此可知命题成立.

5． 设多项式

. 的n 个根为

，得

为

的判别式. 证明:

有重根的重要条件是

其中

【答案】因为

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①

②

③

④