2018年南开大学统计研究院845高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A , B为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使.
C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】 2． 设
其中A 可逆，则=（ ）.
A.
B.
C.
D. 【答案】C 【解析】因为
3． 设
A.
B.
C.
D. 【答案】B 【解析】
秩
或
但当a=1时，
秩
故
阶矩阵
1
所以
其中
则PAQ=B
D. 存在可逆阵P , Q , 使PAQ=B
若矩阵A 的秩为则a 必为（ ）
4． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似
D. 不合同不相似
【答案】A
则
A 与B （ ）.
【解析】因为
A ，
B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为
即A 也有4个特征值0, 0, 0, 4.因而存在正交阵
其中得
因此A 与B 合同.
5． 设A 是矩阵，
A. 如果B. 如果秩
则. 则, 故
再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
且由①式使
为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解 有非零解
有惟一解 只有零解 有零解.
C. 如果A 有阶子式不为零，则，D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】
未知量个数
二、分析计算题
6． 设A
是为正定矩阵.
【答案】因为A 为实矩阵，且
所以B 为n 阶实对称矩阵. 又对
所以
因而B 为正定矩阵.
实矩阵，E 为n 阶单位阵. 已知矩阵试证明：时，矩阵B
且
（2）在没有给出抽象矩阵所满足的关系式时，要说明其正定常考虑使用定义（本题中，
没有满足的关系 式，
只是一个记号）.
而由
从而所以有故维数为所以
又由所以
8． 设二次型
（1）求二次塑 （2）若二次型
的矩阵的所有特征值； 的规范形为
的矩阵
求
的值.
知
所以
证法2:由证法1知
又
是直和, 从而
是直和. 又
是
是线性方程组
的解空间,
的解空间, 维数为
又因
有
所以且
所以
因此
知
7． 设A 是数域P 上的n 阶幂等阵, 即
证明:
【答案】证法1:
【答案】 （1）二次型
由于
所以A 的特征值为
（2）解法1由于故有当当
时，时|
的规范形为
于是
或此时此时
所以A 合同于
或的规范形为的规范形为
不合题意.
不合题意. 其秩为2,
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