2017年南昌航空大学数学与信息科学学院609数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 证明下列各式：
【答案】(1) 是
(2) 由于是
(3)
由(4) 因为
所以
(5
)
(6)
设于是
故
(7)
设
则
于是
故
, 由函数极限的局部有界性知，在内有界，于
由函数极限的局部有界性知，在内有界，于
知
即
，于是，在某个则
内
有界，故
2．
设级数
与级数都发散，
试问
与
一定发散吗？又若与
都发散时，
_
都是
F —定发散.
如即
收敛. 发散知存在
非负数，则能得出什么结论？
【答案】⑴
当
又如，(2)
当
两级数均发散，但两级数均发散，且，均非负时，
则
和P 使
而由
与
非负有
由柯西准则知
发散.
证明于是
不存在.
中存在有理数
不存
根据柯西准则，
3． 设D (x ) 为狄利克雷函数
，
【答案】
令
和无理数
，
使得在.
4． (1) 问
【答案】(1)
因为
从而
即
是以1为周期的周期函数，其图像如图所示
.
图
(2) 不一定. 例如，函動
5． 设f 在
【答案】(1) 设是，当
时，有
就不是周期函数.
上连续，且
则对于
存在. 证明：f 在存在正数
上有界. 又问f 在使得当
时有
上有界.
时，有
上必于
上也连续. 于是，
对一切
对任意的
发散.
一定发散. 这是因为：
由
对任意自然数N ，总存在自然数
由有理数和无理数的稠密性可知，在
是否是周期函数？并画出它的图形(其中
所以
：表示的整数部分) ；
按
的定义，
即得
(2) 两个周期函数之和是否一定是周期函数？
有最大值或最小值吗？
因为f 在即f 在
上连续，所以f 在闭区间
根据连续函数的有界性知，存在正数G ，
使得当
(2) f
在
但f (x ) 在
上不一定有最大值和最小值.
例如
上无最小值. 而
在
在上无最大值.
上连续，
且有
6． 设f (x ) 为[a，b]上的有界可测函数，且
【答案】(反证法) 假设令
那么
证明：f (x ) 在[a, b]上几乎处处为0.
则必然存在某个
使得
这与题设矛盾，所以原命题成立.
二、解答题
7． 已知反常积分
【答案】注意到
因为反常积分另外
对于固定的
在
由阿贝尔判别法知，
8．
设
在
在点
收敛且与y 无关，所以
都单调，且在上一致收敛.
且
又设
表示曲线
在[0, 1]上关于y —致收敛. 时，满足
即一致有界. 从而
收敛，证明含参变量反常积分
1]上一致收敛. 在[0，
上二次连续可微
，
的切线在轴上的截距，试求极限
【答案】
利用切线方程求出将在作泰勒展开：
（这里利用了当时，这一事实. 这一点不难用洛必达法则得到）. 于是
对使用洛必达法则，可得故原极限
9． 讨论下列瑕积分是否收敛？若收敛，则求其值：