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一、证明题

1． 证明：对于由上、下两条连续曲线的平面图形A , 存在包含A 的多边形的极限存在且相等。

【答案】设等分分割

取

于是，分别取

与相连构成多边形

在

上的每一段，相连构成多边形包含A ，A 包含

又因为

而

与

奋：

上连续，因而可积，且

因此

2． 设

(1) 存在

在

使

(2) c 的最小值为. 【答案】(1) 将则

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与以及两条直线

使得当

与所围

时，它们的面积

以及被A 包含的多边形

分别取与在上的每一段，

因此

上连续可导，证明：

在上展开成正弦级数

由巴塞伐尔等式得

故

由此可见，只要式，

故c 的最小值为 3． 设

证明

令于是

4． 1) 设

(1

) (2)

若

则

2) 利用1) 题结果求极限：

【答案】 1)(1)

因为

存在正整

数

对于任给的

使得

当

于是，当

时

时，

由于M 的任意性，故

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上述不等式总成立.

使式(1) 中等号成立. 易见，当

时，式

变成等

(2) 为求c 的最小值，必须求

.

【答案】原不等式

则.

从而原不等式成立.

证明，

故在上单调递减.

存在正整数

使得当时当

同时，

时

(2) 因为

所以对一切由(1) 的结论得

即

对于任给的

存在正整数

2) ⑴令(2)

令

则

则

且

由第1) 题(2) 得

由第1) 题(1) 得

5． 设

在

上连续，且

证明则

则取；则

因

时有

则有

即

6． 设f 为可导函数，证明：若

【答案】由复合函数求导法则，有

由题设

7． 设函数

时得

在

|上连续，在

内可微，又

不是线性函数. 证明：

【答案】过点

显然

，

不妨设

则有

与

的直线方程为

由

于

不是线性函数，故存在

点

，

使使

即

故

则

故由零点存在定理知，存

在

使

得

使

，上连续，

因

故

使得当

时

即

所以

存在正整数N , 使得当

时

即

于是

【答案】

作

(1)

若(2)

若

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