2017年山东科技大学数学与系统科学学院708数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 证明：若在
上为连续函数，为连续可微的单调函数，则存在
【答案】设
则
于是有
由假设使得
2． 设
【答案】所以故
当
=时
，从而
都连续
且
可以用来作为曲线坐标
.
分别对应
平面上坐标曲线
如图1、2所示
由反函数组定理知，存在函数
组
证明：当
时，
可以用来作为曲线坐标，解出
作为
为单调函数，故
不变号，从而根据推广的积分第一中值定理，存在
使得
的函数；画出平面上所对应的坐标曲线；计算并验证它们互为倒数.
图1 图2
因
而前面已算得
即
互为倒数.
二、解答题
3． 设
【答案】由
其中
由方程所确定的隐函数
所确定的隐函数求胃得
故
4． 计算下列第一型曲面积分：
其中S 为上半球面
其中S 为立体其中S 为柱面其中S 为平面
【答案】(1) 因
的边界曲面；
被平面
所截取的部分；
在第一卦限中的部分。
从而
(2) 面积S 由两部分区域都是
组成，其中
它们在：xOy 面上的投影
由极坐标变换可得
5． 若
【答案】由
计算
知
6． 试确定的值，使下列函数与当
【答案】（1）因为
所以，当（2）因为当所以，当
（3）
于是，当
7． 在曲面法线方程.
【答案】设所求点为要求切平面与平面
且点P 处的切平面方程为
法线方程为
时为同阶无穷大量：
时，
时，
与当时为同阶无穷大量.
时与
当时为同阶无穷大量.
时，
上求一点，使这点的切平面平行于平面
点P 处切平面法向量为
与当时为同阶无穷大量. 并写出这切平面方程和
平行，
故
即
从而
即
得P
点为