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一、证明题

1． 设函数f ，g 在

的某个领域上可导，

且

如果

证明

其中A 是实数.

【答案】取

由

中值定理，

令

有

从而所以令

则

使得当

时，有

将使

固定，令

有

于是，

所以

2． 设即可.

事实上，由f

是

由

到

的映射知，

对每一个

当

相应地存在

时

，

使得

记

相应地

显然它是有界闭集.

可知

，

是连续映射，若对

中的任何有界闭集并设

欲证，

均有界. 证明：

是闭集.

则由

知道

【答案】任取点列是闭集，只需证明

由已知条件，在收敛子列

再由

3． 试证明

【答案】令

则

于是原不等式左边变为

(应用了赫尔德不等式

)

4． 设

【答案】由

知

且

又因为

有下界的. 所以，

数列边求极限，得到

5． 设二元函数

证明：对任意

【答案】应用微分中值定理，有

其中介于

与之间，介于

与

之间.

在区域

成立

收敛.

令

解得

由

或

知

即

数列

是单调递减

两

有

(极限保号性) . 对

满足

及f 的连续性，令

是有界集，所以

可得

注意到

故

是有界点列. 由致密性定理，

存

证明：数列收敛，且其极限为

舍去负根，因此上可微，且对

6． 设在上连续，证明

【答案】因为

所以

从而

7． 证明

：

【答案】因为

所以

所以

二、解答题

8． 计算第二型曲面积分

(1)

(2) S 是不含原点在其内部的光滑闭曲面； (3) S 是含原点在其内部的光滑闭曲面。 【答案】 (1)

(2)