当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 证明：若

【答案】

由单调递增数列.

进一步，由由设

2． 证明

：

【答案】令

则

于是

3． 设级数

【答案】设

收敛于A (有限数) . 证明

：

则有

故有

4． 求证：

(1)

则数列

的构造，

知

得收敛.

所以

则有

收敛，并求其极限.

，可推出

为严格

单调递增且有上界，知

即

在

时，

内严格递增

即

故f (x )

在内严格递增，

当

所以

(2)

【答案】(1) 令

注意到

有

(2) 由第(1) 小题得，

于是，对任给定

取

.

当n>N时，便有

有

因为f 在x=l连续，所以当x>0时，

而当

故f 为常量函数.

6． 设函数f 在(a, b) 内可导，且单调. 证明在(a，b ) 上连续.

【答案】设内递增且以定理知，

因为f (x )

在 7． 设

【答案】由

知

且

又因为

有下界的. 所以，

数列边求极限，得到

收敛. 令

解得

由

或

知

即

数列

是单调递减

两

可导，所以

.

于是

由

的任意性知

在(a，b ) 内递増. 设

则

在某个

内递增且以

为上界，

在

为下界. 根据单调有界定理知，极限

都存在. 再由导数极限

时

又

所以

5． 设定义在R 上的函数f 在0、1两点连续，且对任何

【答案】由

证明f 为常量函数.

所以

知f (x ) 是偶函数. 因为

在(a, b) 内连续

证明：数列

收敛，且其极限为

(极限保号性) . 对

舍去负根，因此

二、解答题

8． 设

【答案】因为

求

所以由链式法则得到

最后以 9． 计算外侧。

代入即可. 其中为圆锥曲面

被平面z=0，z=2所截部分的

【答案】由高斯公式，然后再由球坐标变换得

10．求证含参量广义积分

【答案】任取(1) 当a>0时，因为收敛.

(2) 当a=0时，

且充分小，使得

当

时，有

若

则

的有界闭子区间

的任何有界闭子区间上一致收敛.

分两种情况讨论：

收敛，所以广义积分

在[a，b]上一致