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一、证明题

1． 若

推得进而

收敛吗？ 【答案】由

收敛. 若仅知道

收敛，未必有

收敛. 如

则

2． 设f 在

(c 为常数). 【答案】由题意可知，故

其中

为常数.

3． 证明下列结论：

(1) 设f (u , v ) 具有二阶连续偏导数，且满足方程

(2) 设z=f(x ，y ) 是二阶连续可微函数，又有关系式

【答案】(1) 令

则z=f(U , V ) ，于是

故

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且级数

可得

绝对收敛，证明级数也收敛. 若上述条件中只知道

绝对收敛，故级数

收敛，能丨收敛，

又因为级数

收敛，但

上有任何阶导数，

记

发散.

且在任何有限区间内

，

试证

在任何有限区间内连续，且

由

积分可得

故

则

也满足方程

是不为零的常数，

则

(2) 由

知

于是

故

4． 分别用确界原理及区间套定理证明：若

使得.

则是非空有界数集.

记

【答案】(1) 利用确界原理答:

构造数集

，往证则(反证法). (2)

利用区间套定理证明设

若在分点处有区间套定理，存在唯一的

5． 若对任何充分小的

则

则结论成立，否则

在每个区间往证

在

且

内连续.

是f 的间断点，令

是f 在区间

上的

的端点处函数值异号，由

则

在

上单调递增，

且

则

利用二等分法构造区间套

上连续. 能否由此推出f 在内不连续，则必有某一点

于是

【答案】能. 用反证法. 假如f 在

一个间断点. 这与题设矛盾，故f 在内连续.

6． 证明：为Ⅰ

上凸函数的充要条件是对任何凸函数。

【答案】充分性，设

为

函数

及

为有

上的

上的凸函数，则对任何的

故为Ⅰ上的凸函数。

为I 上的凸函数，则对任何的

及

有

必要性，设

故

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为上的凸函数。

7． 应用欧拉公式与棣莫弗公式证明：

【答案】将又因为

比较上面两式的实部与虚部可得

代入欧拉公式，得

二、解答题

8． (1) 求表面积一定而体积最大的长方体；

(2) 求体积一定而表面积最小的长方体. 【答案】(1) 设长方体的长、宽、高分别为制条件为：

令

解得

因所求长方体体积的最大值，且稳定点只有一个，所以最大值定而体积最大的长方体是正立方体.

(2)

设长方体的长、宽、高分别为

设

体积为v , 则表面积

令

解得

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表面积为则体积为限

故表面积一限制条件

故体积一定而表面积最小的长方体是正立方体.