2017年山东科技大学数学与系统科学学院708数学分析考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 证明下列结论：
(1) 函数(2) 符号函数【答案】(1) 假设
不存在原函数；
不存在原函数. 则
于是
当
即
时
有
当
时
有
由
于
连续，所
以
从而
这与(2) 假设
矛盾.
由拉格朗日定理得
这说明
2． 设正项级数
【答案】因为收敛，进而由比较原则得
收敛.
在点
不可导，与
也收敛. 义由已知碍
及
收敛，所以
相矛盾.
收敛，证明级数
二、解答题
3． 求下列幂级数的收敛半径与收敛区域：
【答案】(1) 因又(2)
因为
收敛，故收敛域为
(3) 记
所以
收敛半径
当
时，级数为
通项为
则
故(4) 因(5)
设
收敛域为(6)
设
为
当
时，原级数可化为
对于级数
因为
故级数当
收敛，又时，原级数可化为
因级数(7)
发散
故收敛半径与级数
故收敛半径
收敛区间为收敛区间为
当
时，级数
时，级数均发散，故收敛域为
即时级数发散，故收敛域为故收敛半径为
则
故级数收敛半径
故
：收敛域为故对任取定的
有
故级数的收敛半径为
从而收敛区间
收敛，故时，原级数收敛.
收敛，而级数
则
发散，时原级数发散，从而收敛域为
故
故收敛半径时，原级数是
的，从而收敛域为(8)
则
因此级数在
时收敛，
时发散，从而可得收敛半径
收敛区域为
4． 计算下列二重积分：
(1) (2) (3) (4) :
其中
其中D 由抛物线
其中
，其中D 为图1中阴影部分；
与直线
所围成的区域；
【答案】(1) D 如图
1
图1
(2) (3) D 如图
2
图 2
(4) D 如图
3