2018年西安电子科技大学数学与统计学院601数学分析之数学分析考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数？
【答案】设（1）若
为f （x ）在区间上的第一类间断点, 则分两种情况讨论.
内由拉格朗日中值定理有
这与
为可去间断点是矛盾的, 故F （x ）不存在.
为跳跃间断点.
成立. 而
这与
2． 求
梯度, 并求梯度为零之点.
【答案】因为
在点B （-1, -1, -1）: gradu= （-8, -4, -10）; 因
令
解之得x=5, y=3,
3． 求极限
【答案】记
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为可去间断点.
, 在和x 之间. 而
反证法:若f （x ）在区间上有原函数F （X ）, 则在
（2）若
反证法:若f （x ）在区间上有原函数F （X ）, 则亦有
为跳跃间断点矛盾, 故原函数仍不存在.
在点 O （0, 0, 0）, A （1, 1, 1）, B （-1, -1, -1）处的
所以:
在点O （0, 0, 0）: gradu= （-4, 2, -4）; 在点A （1, 1, 1）: gradu= （0, 8, 2）;
. 因此使梯度为零之点为
.
则
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即
而
,
故
.
4．
计算下列瑕积分的值（其中
n 为正整数）:
（1）
（2）
;
【答案】
（1
）当n=l时, 有
当
时, 设
从而有
（2
）令
则有
, 于是
因此有
5． 讨论级数
【答案】由
可得和函数
考察
由于
, 所以
, 当
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, 而在
, 所以有
上的一致收敛性.
.
时, 有
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于是
, 当
时都有
而当
时, 注意到
, 对适当大的n , 有
于是对上述
由式（1）、式（2）知,
, 当n>N
时,
, 当n>N,
即
故原级数在
上一致收敛.
6． 设f （
x ）在（0, 1）内有定义, 且
求证:【答案】因为
所以对任意给定的
,
使得当
时,
, 都有
时有
（*）
, 由（*）得
（**）
因为
所以对（**）令
取极限得到
从而
二、证明题
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