2018年武汉理工大学理学院602数学分析考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 证明:函数
【答案】因为
又由
在
及
故
上连续, 且有连续的导函数. 在
上一致收敛.
在
上连续.
上连续（n=1, 2, …）, 故
在
上连续可知,
则由定理可知
一致收敛且和函数连续. 设
即f （x ）连续且具有连续的导函数.
2． 设f （x ）在[0, 1]上连续，证明
【答案】令t=x则
因f （x ）在[[0, 1]上连续，故
，记
，
使得
n
.
，
，不妨设0 因f （x ）在[0, 1]上连续，故f （x ）在[0, 1]上一致连续，故对上述的正数’当 且 时，有 ， 因当 ，记 时，有 ，则存在正整数N 使得当n ＞N 时，有，从而当n ＞N 时，有 ； 由（3）和（7 ）知，当n ＞N 时，有 综上 ，即证得 3． 设f 在区间上有界, 记 证明 【答案】 对任意的 即 故 设为任意正数, 则存在于是有 故 4． 设f 在[a, b]上连续, 【答案】因为 t 于是有 使得 . 证明 所以 从而 二、解答题 5． 设 （1）证明:x=0是极小值点; （2）说明f 在极小值点x=0处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件. 【答案】（1）当（2）因为由导数的定义得 取 则 于是对任意的 , 总存在 , 使得 , 所以f （x ）在极小值点x=0 故f （x ）在极小值点x=0处也不满足第二充分条件. 6． 求边长为a 密度均匀的立方体关于其任一棱边的转动惯量. 【答案】如图求, 设密度为, 则 处不满足第一充分条件. 又因 时, , 而 , 故x=0是f （x ）的极小值点 时, , 所以f （x ）在x=0连续. 当
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