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一、证明题

1． 设f 在[a, b]上连续, 且对任何

证明:存在最小值定理知,

若m=0, 则

, 使得

上连续可知,

在

上也连续. 由连续函数的最大、

, 存在

. 使得

【答案】由f （x ）在

在[a, b]上有最小值. 设这个最小值为, 命题得证.

, 使得

若m>0, 由题设知存在这与m

是

2． 设

（1）（2）若

【答案】（1）因为

在[a, b]上的最小值矛盾. 于是m=0, 即存在证明:

则

所以

, 使得

又因为（2）因

为

于是

所以对

于

所以

存在N , 使得

当

时

,

即

因为 3． 用

方法证明:

所以

【答案】令∴

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取则当时, 有

即

使得, 则F （x

）在

.

上

4． 设f =f. 证明:对任意正整数n , 存在

（x ）在[0, 1]上续, f （0）（1）

【答案】若n=1, 则取连续. 由

f （0）=f（1）知

若若

, 则

取

不全为0, 则必有两点即可. 若n>1

, 令

中任一点即可;

, 使得

由根的存在定理,

5． 证明公式

【答案】

, 使得

, 即.

二、解答题

6． 设某流体的流速为V= （k , y , 0）, 求单位时间内从球面

【答案】设流量为E , 则

（其中

利用球坐标变换计算）

的拐点?

,

7． 问a 和b 为何值时, 点（1, 3）为曲线

【答案】由此得到方程组

, .

, 解得

的内部流过球面的流量.

. 由（1, 3）为该曲线的拐点知,

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8． 直径为6米的一球浸入水中, 其球心在水平面下10米处, 求球面上所受浮力.

【答案】如图所示, 球面在水深x 米处所受压力的微元为

故球面所受总压力为

由力的平衡可知, 球面所受浮力为一

1108.35kN.

图

9． 求曲面

与平面y=4的交线在x=2处的切线与Ox 轴的交角.

则根据导数的几何意义, 切线对Ox 轴的斜率为

【答案】设该角为

所以切线与Ox 轴的交角为

10．考察函数

在点（0, 0）处的可微性. 【答案】由偏导数定义知,

同理可得

由于

所以f 在点（0, 0）处可微.

11．指出下列函数的间断点并说明其类型:

（1）（2）（3）（5）

（4）（6）