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一、证明题

1． 设f 为

（1）

（2）

上的连续函数, 证明: 在在

上收敛；

上一致收敛的充要条件是f （1）=0.

上连续, 故f 在即

在

上有界, 设上收敛, 且收敛于

（2）必要性 由

可得其极限函数g （x ）在充分性 可考虑将因为f （l ）=0, 故当当

时,

时, 有

故对上述的

存在N , 当n>N时, 对一切

故

, 存在

上连续可知,

在

上也连续. 由连续函数的最大、

总有在. 使得

证明:存在最小值定理知,

若m=0, 则

, 使得

【答案】由f （x ）在

所以,

上一致收敛.

当n>N时, 任意的有

2． 设f 在[a, b]上连续, 且对任何

在

分成两部分讨论.

又因f （x ）在x=l处连续, 故对任意

存在

上连续及

在

上一致收敛,

【答案】 （1）因f 在所以

上连续, 从而.

在[a, b]上有最小值. 设这个最小值为, 命题得证.

, 使得

若m>0, 由题设知存在这与m

是

在[a, b]上的最小值矛盾. 于是m=0, 即存在, 使得

3．

设故只需考虑

故若当故若进而

证明数列

与级数

收敛, 必有时, 有

收敛必有

与

与级数

司的关系. 因为

同时收敛或同时发散.

的敛散性相同,

【答案】注意到数列的敛散性与正项级数

收敛

；若同时发散；当

收敛, 即有

收敛；若

发散, 则有

发散, 必有

时

发散.

发散,

发散. 所以原数列与原级数同时收敛或同时发散.

则在区间I 上f （x ）与g （x ）只

可知h （x ）为I 上的常量函

（c

为某一常数）.

4． 证明:若函数f 和g 均在区间I 上可导, 且相差某一常数, 即

【答案】令数

,

即

5． 若级数

证明级数【答案】由收敛,

由比较原则得正项级数如如果取

收敛, 从而满足不等式且

为发散的正项级数

, 则必有

与发散.

收敛. 若

与

. 亦即

都收敛

, 且成立不等式 也收敛. 若

可得

,

都发散, 试问

（c 为某一常数）. , 则在I 上有

一定发散吗？

与

,

. 都收敛,

故正项级数都发散. 收敛.

未必发散.

又级数

均发散,

但

二、解答题

6． 已知f （x ）是

上的连续函数, 它在x=0的某个邻域内满足关系式

且f （x ）在点

x=l处可导, 求曲线y=f（x ）在点（1, f

（1））处的切线方程. 【答案】令sinx=t, 注意到当

时

,

且sinx 〜X , arcsint 〜t. 题设条件可改写为

又因为f （x ）在点x=l处可导, 所以

将（1）式代入改写了的题设条件（2）式, 得到

从而, 所求切线方程为y=2（x-1）.

7． 试求下列极限:

（1）（2）（3）（4）

【答案】（1）当

时, 因为

且

（2）因为x , y 充分大时,

而（3）（4）因为

所以

8． 求不定积分

【答案】方法一:

因此

方法二:

故

故

且