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一、证明题

1． 设f , g :

（1）（2）

【答案】（1）因为当故（2）因为

时, 有若

则. 所以对

等价于

. 利用不等式, 有

这表明

, 当

即

故

2． 证明:若T ’是T 增加若干个分点后所得的分割, 则T’, 所以我们只需证p=l的情形.

在T 上添加一个新分点, 它必落在T 的某一小区间内, 而且将分为两个小区间, 记作

但T

的其他小区间

仍旧是新分割

所属的小区间, 因此, 比较一项换为后者中的

故

»

即

就有

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,

, 且当b = 0时可逆;

, 证明:

所以, .

, 即b=0时可逆.

时, 有

.

【答案】设T 增加p 个分点得到T’, 将p 个新分点同时添加到T , 和逐个添加到T , 都同样得到

与的各

与

个被加项,

它们之间的差别仅仅是前者中的

两项. 又因函数

在子区间上的振幅总是小于其在区间上的振幅, 即有

一般的, 对增加一个分点得到

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这里 3． 设

【答案】已知

, 且满足

. 即

证明:

有下界. 又由

可推出

若a=0, 则

, 即

单调递减. 由单调有界定理

, 在不等式

存在, 记为a , 则

可知

矛盾.

的极限存在, 并求出其极限值.

,

故

_

两边, 令

由此可见a>0.再在不等式

中, 令

可得

, 即

, 解之得a=1.

时

,

,

因此作[a, b]的分割之后, 在则

只要从而

由此知, 在

上, 若

必有

, 故

这样,

条件的

必要性对上述的

和>0, 分割T , 使得

于是由式（2）知

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4． 设y=f（u ）在[A, B]上连续,

证明:

, 当

在[a, b]上可积.

在[a, b]上可积.

当.

【答案】由于f （u ）在[A, B]上连续, 所以它在[A

, B]上一致连续, 即

时, 有

上

, 若

事实上,

必有

的振幅

, ,

的振幅

, 先找使式（1）成立. 再由在[a, b]上的可积性, 利用第三充要

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最后由第三充要条件的充分性即知, F （x ）在[a, b]上可积.

二、解答题

5． 若x=1, 而

【答案】

,

当当

时, 时

,

, 问对于

,

与dy 之差分别是多少?

,

6． 求下列不定积分:

（1）（3）

【答案】（1）令

（2

）

（4

）

,

则

（2）令于是

（3）令令

, 则

，则

, 所以原式

所以

,

则

, 取

,

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