2018年中北大学理学院601数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 证明对任意常数
球面
与锥面
是正交的
【答案】设（x , y , z ）是球面与锥面交线上的任一点, 则球面在该点的法向量为
锥面在该点的法向量为
因为
2． 由根式判别法证明级数
【答案】记
收敛, 并说明比式判别法对此级数无效. 则
故比式判别法对此级数无效.
又
故
由根式判别法知此级数收敛.
3． 设f 为傅里叶系数, 证明
【答案】因为f
为又
故
即
第 2 页，共 28 页
故对任意常数
球面与锥面正交.
上的光滑函数, 且为f 的傅里叶级数为f 的导函数的
上的光滑函数, 所以f （x ）在上有连续的导函数
4． 证明:对连续函数f （x ）有
【答案】令
由于
所以
二、解答题
5． 试作适当变换, 计算下列积分:
（1）（2）
【答案】 （1）令于是
（2）令于是
6．
为R 中的开集
，（1）对每个（2）
试证:
【答案】首先证明因
的x 存在关于
存在.
使得
根据条件（2）
令
当
时，有
取极限，根据条件（1）可得
第 3 页，共 28 页
2
, 则
则
为上的函数，且
中的y 一致连续.
①
（为开集），所以
；根据柯西准则，知存在. 即等
式①左端极限存在，记之为A.
其次，（证明
由
利用条件（2）及上一步骤之结论，可取x 与x 0充分接近使得
将x 固定，由条件（1）
于是由②式知
7． 设平面光滑曲线由极坐标方程
给出, 试求它绕极轴旋转所得旋转曲面的面积计算公式. 【答案】曲线的直角坐标方程为
, 于是
8． 计算近似值:
（1）（2）
【答案】（1）设
根据
则
因而
9． 求极限
【答案】应用泰勒公式得
第 4 页，共 28 页
）
.
②
使得
时证毕.
（2）设
相关内容
相关标签