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一、证明题

1． 证明

【答案】将

作偶延拓到

上, 再在

故

即

2． 求证:序列

【答案】对

, 只要

发散.

及p=n, 便有

3． 证明级数

【答案】由微分中值定理, 有

从而

又

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外作周期延拓, 于是

收敛, 并且其和小于1.

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所以级数

4． 证明:

【答案】

为有界函数.

收敛, 并且其和小于1.

于是,

对于有界性定理知,

存在

故

, 存在

, 使得当

时

. 对, 有

. 在[—M , M]上, 由连续函数的

.

于是, 对于一切

, 使得当

为有界函数.

二、解答题

5． 设

.

求证:

当

时, 有

【答案】方法一:由已知条件得

整理化简得

方法二:先由y 的表达式,

解出

, 再两边取微分, 得

6． 设

【答案】由又

计算积分

而

收敛可得级数

在[﹣1, 1]上一致收敛.

在[﹣1, 13]上连续, 从而由定理知

7． 求二曲线

与所围公共部分的面积.

可知两条曲线的交点为（0, 0）和

. 如图所示,

【答案】由方程组所围公共部分的面积为

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图

8

． 试求

在

上的傅里叶级数,

并求级数

的延拓, 则

故由收敛定理, 对

,

当

令

9．

求出椭球

在第一卦限中的切平面与三个坐标面所成四面体的最小体积.

切平面在坐标轴上的截距分别为:

则椭球面在第一卦限部分上任一点处的切平面与三个坐标面围成的四面体体积为

故本题是求函数

在条件设令

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的和.

【答案】将f （

x ）作周期为

时, 其傅里叶级数收敛于

, 即有

【答案】由几何学知, 最小体积存在. 椭球面上任一点（x , y , z ）处的切平面方程为

下的最小值.