当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 设f （X ）在

上n+1阶导数且及

. 由微分中值定理

求证:

..

【答案】将f （a+h）在a 点作带有佩亚诺型余项的泰勒展开

对

在a 点作同样的展开, 有

将上式代入式（1）可得

比较式（2）、式（3）, 且有

, 则

9

故

2． 设正项级数

收敛. 证明:级数也收敛, 其中

.

【答案】

收敛, 则

令

则

, 级数

的部分和为

从而级数收敛.

第 2 页，共 26 页

专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！

3． 设为上的有界可测函数, 且

那么

证明:

在上几乎处处为0.

【答案】（反证法）假设令

则必然存在某个

使得

这与题设矛盾, 所以原命题成立.

4． 证明:（1）若函数f 在

（3）对任意实数在一点,

使得

,

又因为

于是

, 因此

（2）因为f （x ）在[a, b]上满足拉格朗日中值定理的条件,

所以在（a , b ）内至少存在一点

使得（3）当

, 又因为

时, 结论成立. 当

时, 设

, 于是

令

由（2）的结论知

,

. 则

. 因此

都有

上可导, 且

, 则. 则

（2）若函数f （x ）在[a, b]上可导, 且

【答案】（1）因为f （x ）在[a, b]上满足拉格朗日中值定理的条件, 所以在（a , b ）内至少存

二、解答题

5．

讨论下列函数在给定点或区域上的连续性:

（1）（2）

【答案】（1）因为

而当0

, 所以

第 3 页

，共 26 页

（p>0）, 在点（0, 0）处; 在其定义域上.

专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！

即当0

时, 由于

所以f （x , y ）在点（0, 0）不连续. （2）函数的定义域为当轴上任一点

, 当

时有

, 于是

则f （x , y）在y 轴上处处连续, 故f （x , y）在其定义域上是连续的.

6． 求下列不定积分:

（1）（3）（5）（7）（9）（11

）（13）（15）（17）【答案】 （1）

（2）

（3）（4）

第 4 页，共 26 页

.

时, 由初等函数的连续性知f （x , y ）连续. 下面只考虑x=0（即y 轴）上点的连续性. 对y

（2） （4） （6） （8） （10） （12） （14） （16）（18）

.