2018年云南师范大学数学学院831数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
（1）（2）若
【答案】（1）因为同时, 存在正整数当
时
. , 令
, 则使得当
时,
, 于是, 当n>N时,
由于M 的任意性, 故
（2）因为于是
, 所以对一切由（1）的结论得
即
对于任给的
2． 设f （z ）是在
（1）明：级数
【答案】
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, 证明:
.
, 对于任给的M>0, 存在正整数, 使得当
,
时
.
, 存在正整数N , 使得当n>N时, . 即.
, 存在正整数, 使得当时,
, 即, 所以
内的可微函数，且满足：
（2
）绝对收敛.
其中0 证 即这里 3． 证明下列结论: （1） 当和 （2）若 时 , 由比值判别法知 绝对收敛. , 使 得, 其 中, 并 求 在点a 的邻域U （a ）内连续有 且 【答案】（1）令使得 , 则. f X ）, 则在[X, X+1]上对（利用拉格朗日定理, 当 时, , 令, 则, 于是有 从这个式子中可解得 由于 , 所以 , 且易知 （2）由泰勒定理知 其中于是 令 取极限, 利用n+1阶导数的定义及 在U （a ）内连续有 , 比较f （a+h）的两个展式有 , 二、解答题 4． 问a 和b 为何值时, 点（1, 3）为曲线 【答案】由此得到方程组 第 3 页，共 23 页 的拐点? , , . . 由（1, 3）为该曲线的拐点知, , 解得 5． 讨论级数的敛散性. 【答案】用柯西收敛准则. 取显 然 , , 让自然数k 适当大, 取 , 考 察 , 因此 这里用到了 6． 试问集合 与集合 是否相同？ 【答案】给出的两个集合是不相同的, 第一个集合挖去了两条线段及 7． 求圆的渐伸线（a , 0）与终点B 【答案】方法一:如图所示: 第二个集合挖去了一个点（a , b ）. 和连接两个端点:起点A 的直线段AB 所围成图形的面积, 并求渐伸线的弧长 . （当k 适当大时）. 由柯西收敛准则可知, 原级数发散. . 注意到, 当 时, 有 图 所围图形面积为 第 4 页，共 23 页
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