2016年中国海洋大学海洋与大气学院基础综合之高等数学复试笔试最后押题五套卷
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2016年中国海洋大学海洋与大气学院基础综合之高等数学复试笔试最后押题五套卷（一） . .... 2 2016年中国海洋大学海洋与大气学院基础综合之高等数学复试笔试最后押题五套卷（二） . .... 8 2016年中国海洋大学海洋与大气学院基础综合之高等数学复试笔试最后押题五套卷（三） . .. 12 2016年中国海洋大学海洋与大气学院基础综合之高等数学复试笔试最后押题五套卷（四） . .. 17 2016年中国海洋大学海洋与大气学院基础综合之高等数学复试笔试最后押题五套卷（五） . .. 24
一、计算题
1． 选用适当的坐标计算下列各题:
（1）（2）闭区域:
（3）（4）
，其中D 是由直线y=x，y=x+a，y=a，y=3a（a>o）所围成的闭区域; ，其中D 是圆环形闭区域
【答案】（1）D 如图11所示. 根据D 的形状，选用直角坐标较宜。
，
故
。
，其中D 是由直线x=2，y=x及曲线xy=1所围成的闭区域;
，其中D 是由圆周
及坐标轴所围成的在第一象限内的
图1
（2）根据积分区域D 的形状和被积函数的特点，选用极坐标为宜.
，故
（3）D 如图2所示. 选用直角坐标为宜. 又根据D 的边界曲线的情况，宜采用先对x 、后对y 的积分次序. 于是
图2
（4）本题显然适于用极坐标计算。
。
2． 求空间曲线积分
交线，从x 轴正向看去取逆时针方向。
【答案】解法一：L
的方程是
，其中L 是圆柱面与平面的
L 的参数方程是
按L 的定向t 从0到2π，于是代公式得
其中
解法二：L 是空间中的平面曲线，可用斯托克斯公式转化为求平面上的曲面积分。 圆柱面所截平面y=z-1部分记为化为上的第二类曲面积分，有
，按右手法则取上侧，用斯托克斯公式，将曲线积分，J
在xy 平面的投影区域易求，即
将此曲面积分J 投影到xy 平面化为二重积分，则
。
的方程为
解法三：L 是母线平行于z 轴的柱面与平面的交线，可投影到xy 平面上，然后用格林公式。由L 的方程
，L 在xy 平面上的投影曲线记为
，相应
地也取逆时针方向，于是代入积分表达式得
其中D xy ，是所围的圆域。