2016年天津理工大学理学院高等数学复试笔试最后押题五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 求函数
【答案】因为
, 故
2． 设有一分布着质量的曲面，在点（x ，y ，z ）处它的面密度为面积分表示这曲面对于x 轴的转动惯量。
，【答案】设想将分成n 小块，取出其中任意一块记作dS （其面积也记作dS ）（x ，y ，z ）为dS 上一点，则dS 对x 轴的转动惯量近似等于
以此作为转动惯量元素并积分，即得对x 轴的转动惯量为
3．
设
为曲
面
.
【答案】设
为
所围成部分的下侧，记由
因为
所以
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的带有佩亚诺型余项的n 阶麦克劳林公式
,
，用对面积的曲（x ，y ，z ）
的上侧，计算曲面积
分
所围立体为，则
因此，计算得
.
4． 判断下列级数的收敛性：
【答案】（1）此级数为公比（2）此级数的部分和
而
即该级数发散。 （3）此级数的一般项级数发散。
（4）此级数为公比（5）此级数的一般项等比级数，而
故
与
的等比级数，因
注意到
故该级数发散。
分别是公比
与
的
有
不满足级数收敛的必要条件，故该
故
的等比技术，因
故该级数收敛。
均收敛，根据收敛级数的性质可知，原级数
收敛。
5． 求下列微分方程的通解：
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说明：求解线性微分方程组一般采用“消去法”。
1°从方程组中消去一些未知函数及其各阶导数，得到只含一个未知函数的线性微分方程，然后求出该线性微分方程的通解，本题的（l ）（2）（3）题采用这种方法来解; 对于学过“线性代数”的读者，可以记
将微分方程组写成代数线性方程组的形式，然后用类似于克拉默法则的方
法，消去一些未知函数而获得一个未知 函数的微分方程，本题的（4）（5）（6）题采用这种方法来解。
2°当用“消去法”求得一个未知函数的通解后，求另一未知函数的通解时，一般不必再积分，否则会出现 新的任意常数.
【答案】（1）将
中①式的两端关于x 求导，得
代入②式得
即由它的特征方程
从而由①，得
故方程组的通解为
解得于是得
（2）将中①式两端关于t 求二阶导数，得代入②式得
即由它的特征方程
再由①，得故方程组的通解为
解得于是得
（3）将代入①式，得
的①+②得即
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