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一、证明题

1． 证明下列结论:

（1）设f （x ）在点x=0连续, 且对在则f （x ）

在则f

（x ）在【答案】（1）由由f （x ）在x=0处连续, 所以

故f （x ）在点

连续, 从而f （x ）在

, 于是对

令同理由（3）由

即f （X ）定号, 从而可知对

得

对

得A=A+B,

即

,

令

有

得B=A+B, 即, 因为

, 于是都成立.

,

由已知得

在x=0处连上连续. 上增（减）. , 并

且

于

是

两边取对数得

. 从而

上连续.

, 且f （X ）与f （-X ）同号, , 所以f （0）=l.对

上连续.

, 取x=y=0得f （0）=0.对

, 又

上连续. 上单调, 所以

和

都存在, 设

（2）易知f （0）=0.因为f （x ）在

当

时,

上连续;

, 且对

满足f （x+y）=f（x ）f （y ）,

（3）设f （x ）在点x=0连续,

上连续;

（2）设f （x ）在

上单调, 且对

满足f （x+y）=f（x ）+f（y ）,

满足f （x+y）=f（x ）+f（y ）, 则f （x ）

在x=0处连续, 由（1）的结论知f （X ）在

续, 利用（1）的结论知

在上连续, 从而f （x ）在

2． 设f 为上的奇（偶）函数. 证明:若f 在上增, 则f 在

【答案】

设

如果f 为奇函数, 则

即f 在

则

上为增函数. 如果f 为偶函数, 则

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即f 在

3．

设

f

为定义在

上为减函数.

上的连续函数

, a

是任一实数,

证明E 是开集, F

是闭集. 【答案】对任一点存在

的某邻域故

E 为开集. 下证F 是闭集. 设

是F 的任一聚点, 则存在F 的异点列

使

且f （x , y ）在P 0连续, 从而

4．

证明:

（1）（2）【答案】（1）设界为M. 若记

则

注意到

攸敛, 利用优级数判别法可知,

在[0, 1]上一致收敛.

.

因为

所以

在[0

, 1]

上连续并且有界,

可见

故F 为闭集.

由

使当

2

因为f 在R 连续, 从而由连续函数的保号性知

,

时即从而

由逐项积分定理, 有

（2） （2）的证明包含在（1）的证明之中.

5． 证明:若

为任何闭集, f :

且存在正实数

.

, 使得对任何

满足

则在D 中存在, 的惟一不动点即

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【答案】（1）不动点的存在性. 下面验证

满足柯西条件, 首先, 有

, 因为f :, 所以必有

于是对任意的正整数n , P, 有

即

当n>N时, 对任给正整数P , 有

, 又因为D 为闭集, 所以

由于

有

所以f 在D 上任何点x 0处连续, 从而

故

为f 的不动点.

的惟一性若也就是

为, 的另外一个不动点, 则

即

6． 证明抛物线

【答案】

►

显然当

7． 设

（1）若（2）若【答案】（1）

, 由条件得

, 即

则由条件推出时

,

是单调递减的. 故当2ax+b=0时, K 取最大值.

, 即抛物线, 求证:

, 则f 为单射, g 为满射;

, 则f 与g 互为反函数.

使得即f 为单射.

, 故g 为满射; 若

在顶点处的曲率为最大.

. 所以f 在D 上存在惟一的不动点.

在顶点处的曲率为最大.

（2）不动点

, 故由定理可知数列

收敛,

设

由2ax+6=0得

二、解答题

8． 设函数

【答案】构造函数:

在开区间在

内连续且有界, 试讨论内非一致连续.

在内的一致连续性.