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一、证明题

1． 设

, 其中

与v （y ）为[0, 1]上连续函数, 证明

【答案】当

时,

由各项被积函数及其对x 偏导函数都连续, 所以

2． 设f （x ）在[a, b]上二阶可导, 且

, 证明:

（1）

（2）又若,

, 则又有

.

【答案】由

知f （x ）为凸函数, 所以根据定理, 对[a, b]上任意两点x , t 有

（1）在（*）式中令

, 得

在[a, b]上两边对x 求定积分, 得

故有

（2）（*）式两边在[a, b]上对t 定积分, 得

从而对任意的

, 有

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*）

（

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由即

3． 设

，证明:

【答案】

所以

4． 设

【答案】因知收敛.

5．

设

（1）

（1）设（2

）设

则

则

6．

设f 为

上的奇（偶）函数. 证明

:若f 在

则

上增, 则f 在

上增（减）. , 并且

于是

且

有界，证明

收敛

.

从而

又

收敛，由比较原则

,

可得

. 故有

有界，

故存在M>0, 使

证明:

（2）

【答案】可以看出交换a , b的位置, 这两个等式两边的值都不变. 不妨假设

【答案】设

如果f 为奇函数, 则

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，共 24

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即f 在即f 在

7． 证明:圆

上为增函数. 如果f 为偶函数, 则

上为减函数.

（a>0）上任一点的切线与向径的夹角等于向径的极角.

可得

【答案】设切线与向径的夹角为

而当时, tanx 为单值函数, 因而由可推出, 即圆上任一点的切线与向

径夹角等于向径的极角.

二、解答题

8． 求极限:

【答案】（1）因为x , 连续点. 于是

（2）该函数在x=1处为右连续, 于是

9． 求曲线.

【答案】切向量

所以切线方程为

或

10．设函数

求: （1）

（2）

【答案】

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都是R 上的连续函数, 所以当时, x 是的

, x+y+z=0在（1, -2, 1）点的切线方程.