2018年国防科学技术大学理学院602数学分析与高等代数之数学分析考研核心题库
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目录
2018年国防科学技术大学理学院602数学分析与高等代数之数学分析考研核心题库（一）.... 2 2018年国防科学技术大学理学院602数学分析与高等代数之数学分析考研核心题库（二）.... 9 2018年国防科学技术大学理学院602数学分析与高等代数之数学分析考研核心题库（三）.. 13 2018年国防科学技术大学理学院602数学分析与高等代数之数学分析考研核心题库（四）.. 17 2018年国防科学技术大学理学院602数学分析与高等代数之数学分析考研核心题库（五）.. 21
一、证明题
1． 已知
求证
时,
则要证的不等式等价于
令
则
而
故
从而有
2． 设
（1）（2）若
【答案】（1）因为
【答案】当
证明:
则
所以
又因为（2）因
为
于是
所以对
于
所以
存在N , 使得
当
时
,
即
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因为
3． 证明:函数
【答案】因为由于当
时,
所以
在点（0, 0）连续但偏导数不存在.
所以函数
在点（0, 0）连续.
极限不存在, 因而z （x , y ）在点（0, 0）关于
x 的偏导数不存在. 同理可证它关于y 的偏导数也不存在.
4． 设f 在[a, b]上连续, 证明
:存在一点
<
, 使得
【答案】由连续函数的最大、最小值定理知, f （x ）在[a, b]上有最小值和最大值. 设其最小值为m , 最大值为M. 于是
. 由
和
得
由介值性定理知, 存在
, 使得
与有
在（
0, 1）内都是单调不减的. 试证:f （x ）
,
即
这表明令
得在式（1）中, 令
. 得
由式（2）、式（3）知, 连续.
由
6
． 设D （x ）为狄利克雷函数,
【答案】令和无理数在.
使得
对任意的
证明:
不存在.
中存在有理数
不存
. 由有理数和无理数的稠密性可知, 在, 于是
的任意性知, f （
x ）在（
0, 1
）内连续.
. 类似地可证:
, 从而f （x ）在
点
所以
, 即
都存在. 又由
知对
, 有
.
5．
设f （x ）在（0, 1）内有定义,
且函数
在（
0, 1）内连续.
【答案】
. 由
可知, 对
, 另有一组正数满足..
. 根据柯西准则,
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7． 证明:设则
在D 上一致收敛于f. 【答案】因为任意
故所以
及
又
, 有
, 若对每一个正整数n
有
故
,
二、解答题
8． 计算四重积分
【答案】作变换则得
9． 设
（2）求【答案】（1）即当n=0时, 原命题成立. 对
即
（2）把x=0代入等式又因为
, 所以
10．应用换元积分法求下列不定积分:
（1）（3）（5）（7）（9）（11
）（13）
（2） （4）
（6）
（8） （10） （12） （14）
.
； , 故
两边求n 阶导数, 得
, 故当
时, 原命题成立. 得
,
,
.
, 其中V :
.
（1）证明y 满足方程