2017年重庆师范大学数学科学学院代数基础复试之线性代数考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 验证明：与向量线性空间.
【答案】事实上
与
均是
中与向量
不平行的向量，但它们的和
平
不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的加法和数乘运算不构成
行于即该集合对于向量的加法不封闭，故不构成向量空间.
2． 设向量组线性表示.
线性相关，且证明存在某个向量，使能由
，
【答案】方法一、
因为向量组使
线性相关，由定义知，存在不全为零的数
按足标从大到小考察上式中系
数
. 此足标
全为零矛盾. 这时（1）式成为
，设其第一个不为零的数
为
由
知
. 也
即，
但
如若不然，
该式成为，此与这些系数不
于是上述向量即满足要求. 方法二、记
. 由题设，A 的列向量组线性相关，故
线性表示.
设是A 的行阶
因
能由
梯形，则中一定存在不含非零首元的列 3． 设
（1）AB=BA吗? （2）（3）【答案】
⑴因
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，注意到的第1列是含非零首元的，故
线性表示，故A 中对应的也能由
问：
吗？ 吗？
故
（2
）而
（3）
4． 解下列矩阵方程：
⑴
但由⑴，
但由⑴
，
故从
故从而
（2）（3）（4）
【答案】（1）因矩阵边，得
的行列式=1, 不为零，故它可逆，从而用它的逆矩阵左乘方程两
（2）记矩阵方程为
因
故A 可逆，用又，
于是
右乘方程的两边得
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（3
）记因
故A ，B 均可逆. 依次用
则矩阵方程可写为
左乘和右乘方程两边得
（4）因矩阵
和的行列式都是-1, 故均是可逆阵，并且
故得
5． 设
，
，，
线性相关.
，
证明向量组线性相关.
【答案】方法一、由定义，知向量组
方法二、两向量组线性表示的矩阵形式为：
其中
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