2017年东北理工大学线性代数(同等学力加试)复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 设
是非齐次线性方程组AX=B的一个解，
线性无关；
线性无关.
用矩阵A 左乘上式两边，并注意题设条件，得
但
，由上式知
，于是，（1）式成为
因向量组于是
（2）设有关系式
也即
由（1），向量组
，于是
2． 非齐次线性方程组
当λ取何值时有解? 并求出它的通解.
【答案】这里系数矩阵A 是方阵，但A 中不含参数，故以对增广矩阵作初等行变换为宜，求解如下：
线性无关，故
，并且
也等于0, 故所给向量组线性无关.
是对应齐次方程的基础解系，从而线性无关，
，由定义知
线性无关.
是对应的齐次线性方程组的一个基
础解系，证明
（1）（2）
【答案】（1）设有关系式
因R （A ）=2, 故当R （B ）=2，即当
或
时，方程组有解.
当时，
选为自由未知数，得同解方程组
得通解
当
时，
选为自由未知数，得
即
3． 证明二次型
【答案】设又
另一方面，
取
并且二次型f 在处的值为
综合以上知
是
的全部特征值. 由特是
4． 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, 3, 求
【答案】
令
的特征值. 又：
征值性质得
在时的最大值为矩阵A 的最大特征值.
为A 的n 个特征值，则有正交变换x=Qy，使
即
为第1个分量是1的单位坐标向量，再令
则
因1，2, 3是A 的特征值，
故
为3阶方阵，于是
5． 设求
【答案】利用矩阵A 的相似对角阵来求（1）求A 的特征值：
所以A 的特征值为（2）对应
解方程
并且它们互不相同，知A 可对角化. 由
得特征向量
对应解方程由
得特征向量对应由⑶令
解方程
得特征向量
则P 为可逆阵，且于是求出
得
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