当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 若

【答案】因为

证明：

所以得P （AB ）=P（B ）. 由此得

结论得证.

2． 如果

【答案】记因为令而

由M 的定义即可知当

_时, 有

因而

3． （格涅坚科大数定律）设

, 由的任意性知是随机变量序列, 若记

则

服从大数定律的充要条件是

第 2 页，共 39 页

, 试证:

与X 的分布函数分别为

, 故存在, 因为

, 使当, 故存在

和时, 有

使当

, 时, 有

. 对任给的

取足够大的

和

使

是F （x ）的连续点, 且

, 所以有而对于

结论得证.

【答案】先证充分性. 任对

注意到t>0时.

是增函数, 故当

因此有

所以当再证必要性.

设有

因为函数

时, 有

服从大数定律,

即

是增函数及

故则任对

服从大数定律.

存在N ,

当, 得

由于的任意性, 所以

4． 证明:容量为2的样本

【答案】

5． 设分别是UMVUE.

【答案】由于

满足

的UMVUE ，证明：对任意的（非零）常数a , b , 分别是

的UMVUE , 故

且对任意一个于是

因此

是

的UMVUE.

）间的相关系数分别为

且

令

证明:

两两不相关的充要条件为

则

第 3 页，共 39 页

时, 有

时,

的方差为

是

的

由判断准则知

6． 设随机向量（

【答案】充分性:若

同理可得

由此得必要性:若由此得

7． 总体

（1）证明

其中θ＞0是未知参数，又是参数的无偏估计和相合估计；

从而

于是，

这说明

是参数的无偏估计. 进一步，

这就证明了也是的相合估计. （2）似然函数为为

因而θ的最大似然估计为

下求

的均值与方差，由于x （n ）的密度函数为

故

从而

第 4 页，共 39 页

两两不相关.

两两不相关, 则由上面的推导可知

为取自该总体的样本，为样本均值.

（2）求的最大似然估计，它是无偏估计吗？是相合估计吗？ 【答案】（1）总体

则

显然L （θ）是θ的减函数，且θ的取值范围