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一、证明题

1． 设

证明:

为独立随机变量序列, 且

服从大数定律.

相互独立, 且

由此可得马尔可夫条件

由马尔可夫大数定律知

服从大数定律.

存在，试证明：

（1）（2）

2． 设X 为非负连续随机变量，若

所以

【答案】因为

【答案】（1）因为X 为非负连续随机变量，所以当x<0时，有F （x ）=0.利

用

得

（2）因为X 为非负连续随机变量，所以

也是非负连续随机变量，因此利用（1）可得

令

则

3． 设

为独立同分布的随机变量序列, 方差存在, 令

, 证明:则

服从大数定律.

对任意的

因而

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又设, 有

为一列常数, 如果存在

常数c>0, 使得对一切n 有

【答案】不妨设

证明有

所以由马尔可夫大数定律知

服从大数定律.

4． 设X 为仅取非负整数的离散随机变量，若其数学期望存在，证明：

（1）（2）

【答案】（1）由于

存在，所以该级数绝对收敛，从而有

（2）

5． 设随机变量序列证:

【答案】这时

仍为独立同分布, 且

由辛钦大数定律知结论成立.

是取自该总体的简单随机样本,

其中

, 而

又

由此,

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独立同分布, 数学期望、方差均存在, 且试

6． 设总体X 的3阶矩存在, 若样本方差, 试证:

【答案】注意到

为样本均值, 为

7． 设0

【答案】由条件

8． 设0

【答案】由条件

得得

试证：A 与B 独立.

再由上题即得结论.

试证：A 与B 独立.

再由上题即得结论.

二、计算题

9． 设足

【答案】由于概

率

等价于要

使

, 满足上

述不等式的最小n 可用搜索法获得, 如下表:

表

是来自正态总体的最小n 值.

所以有

分布的0.95分位

数

不大

于

要使上述

即

的一个样本.

是样本方差, 试求满

由此可见, 当就可使上述不等式成立.

10．设二维随机变量（X , Y ）的联合密度函数为

求X 与Y 的相关系数.

【答案】先计算X 与Y 的期望、方差与协方差

.

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