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一、证明题

1． 设f 为定义在R 上以h 为周期的函数，a 为实数. 证明：若f 在有界.

【答案】因为f (x ) 在得

于

是

故f (x ) 在R 上有界.

2． 设f (x ) 在(a , b ) 内二次可微，求证：

满足

【答案】令

利用

中值定理得

利用

中值定理得

令

则

原式

3． 设

【答案】

故

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I 上有界，则f 在R 上

有

正

上有界，所以存在M>0, 使得对任意

对于任意

即

数h 的所有整数倍从小到大依次为：必存在惟一整数k ，使

由于h 是f 的周期，因

而

在

连续，但g 在

不连续.

证明：复合函数

在x=0连续. 由 可知g 在x=0不连续。

4． 证明：若与都在下确界，则必存在某实数

【答案】设

上可积，且

使得因

在上不变号，

分别为在上的上、

所以有

由定积分的不等式性质，得

若则由上式知从而对任何实数

均有

若则

得

令

则

且

5． 证明：设f 为n 阶可导函数，若方程. 一个实根.

【答案】设方程. 区间

有n+1个相异的实根，则方程

并且

使得

.

至少有对f (x ) 在

的n+1个相异的实根为上应用罗尔中值定理知，

存在

即至少有n 个相异实根. 再对

使得

在n-1个区间

即.

至少有一个实根.

上应用罗尔中值定

至少有n-1个相异实根. 如此继

理知，存在续下去可得

至少有n-2个相异实根

二、解答题

6． 讨论黎曼函数

【答案】（1）先证

在[0, 1]上无理点都连续. 设无理数

若X 为0，1或无理数，总有

若取

的，记为

在[0, 1]中既约分数的分母不大于n 的仅有有限个，选其中最接近于则当

时，有

（2）再证（0，1）上的有理点均为f （x ）的第二类间断点. 设有理数

使

再取有理数列

则使

则

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在区间[0, 1]上的不连续点的类型.

取无理数列

由所以不存在. 即证为f （x ）的第二类间断点.

（3）类似可证1不是f （x ）的左连续点. （4）可证0是f （x ）的右连续点.

7． 估计下列近似公式的绝对误差：

【答案】（1）

的麦克劳林公式为

当

时，绝对误差的估计为

（2）由当

8． 求曲面

的带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式得

时，

的切平面，使它平行于平面

的切面和平面.

处的切平面与所给平面平行，在以处切平

平行，又在该点的切面为

【答案】设曲面上过点故

所以

代入曲面方程得

所以面为

9． 设函数f 在

证明：【答案】先证

可见在点

在处连续，

. 由已知条件，

或

由式（1）可得

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和点

处切平面为且

有