2017年浙江工业大学理学院665数学分析之数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
是有界闭集
为E 的直径. 证明：存在
1知，
对
则存在
使■
使得
则令
得
2． 证明：若单调数列
【答案】设即对一切正整数
于是
，
即
含有一个收敛子列，则
收敛，则
对任意的正整数n ，由于
这说明数列
收敛.
是有界的. 设正数M 是是
. 谢一个上界，
的子列，所以存在正整数s ，
使得
收敛.
由于E 为闭集. 从而
而
【答案】
由
均为有界闭集E 中的点列，从而有收敛子列
单调递増，它的子列
是有上界的. 由单调有界定理知，数列也在点
连续. 又问：若
存
在
3． 证明：若f 在点连续，则是否必连续？
【答案】因为f (x ) 在
点
(1) 由不等式故(2) 由(3) 当
即
在I 上连续，那么f 在I 上
使得
当
时
连续，所以对任给
的知，由在点连续.
在点
连续. 财，
而|f|
在连续，故
在上连续时，f
在上不一定连续. 例如
在R 上处处不连续.
则与为
常值函数，在R 上处处连续，但
4． 证明下列各题：
(1) (2) (3) (i ) 在(4) (5)
上一致收敛；
上一致收敛； 上一致收敛；
在
上不一致收敛；
上一致收敛； 上一致收敛。
(1) 因为【答案】一致收敛.
(2) 因为(3) (ii ) 取
对任何
令
收敛，所以__所以
收敛，所以上
在
上一致收敛. 上一致收敛.
所以
(4) 而且(5)
在上不一致收敛.
收敛，所以
收敛，所以
上一致收敛.
上一致收敛.
二、解答题
5． 求下列均匀密度的平面薄板的转动惯量：(1) 半径为R 的圆关于其切线的转动惯量：(2) 边长为a 和b ， 且夹角为妒的平行四边形，关于底边b 的转动惯量.
【答案】(1) 如图1.
设切线为
从而
其密度为
对任一点
P
到
的距离为
图1
(2) 如图2, 设密度为
于是
图
2
6． 已知函数y=f（x ）的图像，试作下列各函数的图像：
（1）⑷（7）
【答案】（1）关于x 轴作（2）关于y 轴作（3）关于原点作（4）对（5）对（6）对（7）从以
（2） （5）
的图像的对称图像，就得到
的图像的对称图像，就得到的图像的对称图像，就得到
的图像.
的图像. 的图像.
（3） （6）
的图像，x 轴以上的部分保持不变，x 轴以下的部分对称地翻转到x 轴以上. 的图像，原函数值为正的地方变为y=l, 原函数值为0的地方仍然为0, 原函的图像，x 轴以上的部分保持不变，x 轴以下的部分变0.
的图像出发，把x 轴以上的部分变为0, x 轴以下的部分翻转到x 轴上方.
为例，本题的各种情形如图1~4所示
.
数值为负的地方变为y=-1.
图1 图
2
图3 图4
7． 设大值.
【答案】先求f 在条件
下的最大值. 设
令
为已知的n 个正数，求
在限制条件
下的最