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一、证明题

1． 设

是[a, b]上非负连续函数，

在[a, b]上点态收敛于u (x ) . 证明：u (x ) 在[a, b]上

一定达到最小值.

【答案】记在点列

且

下证：

由

在点

处的连续性知，

当

由于

递增，故更有这样便有

这与

2． 证明：设f 为幂级数项，若f 为偶函数，则

【答案】由当

为奇函数时，

又

故此时有

当

为偶函数时，

又

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则

使

使

递增趋向于u (x ) ，且由致密性定理知，

设则存不妨设

存在收敛子列，仍记为

反证法 若不然，则由

时，有

知，

使

于是存在适当大的k ，

使

相矛盾. 在

上的和函数，若f 为奇函数，则级数

仅出现奇次幂的

仅出现偶次幂的项.

故此时有

3． 设

【答案】设

其中f 为可微函数，验证

则

所以

4． 设

证明：

【答案】(1)

(2) 用数学归纳法证明. 由(1) 知，当n=l时，命题成立. 假设当n=k时，命题成立，则当n=k+l时，

即当

时，命题也成立. 于是(2) 的结论得证.

二、解答题

5．

设函数

时的

【答案】因

6． 计算沿空间曲线的第二型曲线积分：

(1) (2

)

线，其方向按曲线依次经过

【答案】(1) 曲线的参数方程为

依次经过1，2, 7, 8卦限，于是

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是由方程组(u, v 为参量) 所定义的函数，求当所以当

其中L 为与相交的圆，其方向按曲线依次经过其中，L 为球面

卦限；

在第一卦限部分的边界曲当从0增加到

时，

点

平面部分，yz 平面部分和zx 平面部分.

(2) 记球面图所示，则

与xy 平面的交线为与yz 平面的交线为与zx 平面的交线为如

图

其中

依

同理，

所以

7． 计算积分

其中

是球面

的外侧

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