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一、证明题

1． 设

(1) 求证：(2) 求

化简即得(2) 显然边求n 阶导数，得

化简得

由此，令

得

. 这是

的递推公式，根据这个公式，有

由第(1) 小题知

为了求

对第(1) 小题所证的方程，两

【答案】(1) 答:

_

2． 设

【答案】设

其中f 为可微函数，验证

则

所以

3． (1) 证明：若

(2) 证明：若f 在【答案】(1) 由于有

从而有

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收敛，且存在极限上可导，且存在，若

因

与

设

则 都收敛，则对

发散，于是

存在M ，使得当

时，

也发散. 这

故

与已知条件矛盾，故有

(2)

设

根据第(1) 题知：

4． 对

【答案】令

由

收敛可知收敛，

所以

应用拉格朗日中值定理，试证：对

则

对

有

应用拉格朗日中值定理得

因此

故

二、解答题

5． 求下列函数的傅里叶级数展开式：

【答案】(1) f (x ) 是以为周期的连续奇函数，故

由收敛定理

(2) f (x ) 是以2π为周期的连续偶函数，故

由收敛定理

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6． 设二元函数

(1) 试比较

【答案】(1

)

(2)

若

使

在[0, 1]上连续，在正方形区域与

有

由y 的任意性可知

使

故 7． 设

求证递推公式：

【答案】因为

所以

上连续. 记

的大小并证明之；

>成立的(你认为最好的) 充分条件.

对于任意的x 都成立，

则

下面证明上面条件为充分条件，显

然

(2) 给出并证明使等式

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