2017年浙江大学控制科学与工程学院819数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 证明下列结论：
(1) 设f (u , v ) 具有二阶连续偏导数，且满足方程
(2) 设z=f(x ，y ) 是二阶连续可微函数，又有关系式
【答案】(1) 令
则z=f(U , V ) ，于是
故
(2) 由
知
于是
故
2． 证明：若
均为区间Ⅰ上凸函数. 则
均为区间I 上的凸函数，所以对任意的
也是Ⅰ上凸函数。
及
由于于是
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则
也满足方程
是不为零的常数，
则
【答案】因为总有
因而
由式①〜式④得
即
3． 设函数
在
故
是I 上的凸函数
上严格单调増加，求证：函数
也在【答案】
上严格单调増加.
且设
于是
因为
在
上严格单调増加，所以
同理可证
4． 证明级数
在上严格单调增加.
收敛，并且其和小于1.
【答案】由微分中值定理，有
从而又
所以级数
5． 设f (x , y ) 可微
【答案】由已知
是
收敛，并且其和小于1.
上的一组线性无关向量，试证明：
若
则
的方向余弦
为的方向余弦，又因为
于是由①、②可得
故
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线性无关，所以
二、解答题
6． 求下列函数的导函数：
（1）（2）【答案】（1）
当故（2）当
当x=0时，
因
故f （x ）在x=0不可导. 因此
7． 计算
【答案】令
则
所以
8． 求下列函数的导数：
【答案】
其中
时，
综上所述
时
当
时
当
时
当
时
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