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一、证明题

1． 对于组合数

（1）（2）（3）（4）（5）（6）（2）因为

（3）因为

（4）因为

所以

（5）设计如下一个抽样模型：一批产品共有a+b个，其中a 个是不合格品，b 个是合格品，从中随机取出n 个

，

则事件=“取出的II 个产品中有k 个不合格品”的概率为

由诸次

互不相容，且

得

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证明：

【答案】（1）等式两边用组合数公式展开即可得证.

把分母移至另一侧即得结论.

注：还有另一种证法：下述等式两端分别展开

可得

比较上式两端的系数即可得

I

（6）在（5）中令a=n，b=n, 则得

再利用（1）的结果即可得证.

2． 设随机变量序列

独立同分布, 其密度函数为

试证:

【答案】因为当x<0时,

有

当

„所以, 对任意的

时,

有

, 当

所以有

结论得证.

3． 设随机变量X 的密度函数p （x ）关于c 点是对称的，且E （X ）存在，试证：

（1）这个对称中心c 既是均值又是中位数，即（2）如果c=0，则

因此

所以得

又由

所以

（2）当c=0时，

又由

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其中常数而当时, 有

, 令

时,

有

【答案】（1）由p （x ）关于c 点对称可知：

由此得

由此得结论.

4． 设总体为韦布尔分布

其密度函数为

现从中得到样本

证明

仍服从韦布尔分布, 并指出其参数.

为

因而最小次序统计量这说明.

5． 设总体

【答案】由于总体均方误差为

将上式对a 求导并令其为0, 可以得到当

时，

最小. 且

这就证明了在均方误差准则下存在一个优于的估计. 这也说明，有偏估计有时不比无偏估计差.

6． [1]设随机变量X 仅在区间[a，b]上取值，试证：

[2]设随机变量X 取

值

【答案】[1]仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，因为

同理可证，

由上题的结论知

[2]仿题[1]有

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【答案】由总体分布的密度函数可得总体的分布函数

的分布函数为

是其样本，θ的矩估计和最大似然估计都是，它也是θ的相合

下存在优于的估计. 现考虑形如

的估计类，其

所以

估计和无偏估计，试证明在均方误差准则

的概率分别

是证明

：