当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 设随机变量X 服从参数为2的指数分布，试证

：上的均匀分布.

【答案】因为X 的密度函数为

又因为

，且的可能取值范围是（0，1）

所以

是严格单调减函数，其反函数为

的密度函数为

即 2． 设证:

【答案】注意到

故

证明完成.

3． 若P （A ）>0，P （B ）>0，如果A ，B 相互独立，试证：A ，B 相容.

【答案】因为P （AB ）=P（A ）P （B ）>0，所以

4． 设随机变量

相互独立, 且

试证:

【答案】而事件

第 2 页，共 41 页

都服从区间（0，1）

又

由

知

也服从区间（0，1）上的均匀分布. 结论得证. 为一个样本,

是样本方差, 试

即A ，B 相容.

的联合密度为

从而该事件的概率为

5． 记

证明

【答案】

由

得

6． （伯恩斯坦大数定律）设

证明:

【答案】

记

所以

由的任意性知

第 3 页，共 41 页

是方差一致有界的随机变量序列, 且当

任

对

存在M>0,

当

时,

一致地有

时,

有

服从大数定律.

所以由马尔可夫大数定律知

服从大数定律.

7． 设连续随机变量X 的密度函数为p （X ）, 试证:p （x ）关于原点对称的充要条件是它的特征函数是实的偶函数.

【答案】记X 的特征函数为为

这表明X 与-X 有相同的特征函数,

从而X 与-X 有相同的密度函数, 而-X 的密度函数为关于原点是对称的.

再证必要性, 若

, 则X 与-X 有相同的密度函数, 所以X 与-X 有相同的特征函数,

故

的样本，

是实的偶函数.

的样本，且两组

由于-X 的特征函数为所以

8． 设为来自指数分布样本独立，其中

（1）求假设

所以得

, 即

先证充分性. 若

是实的偶函数, 则

又因

为来自指数分布

是未知的正参数.

的似然比检验；

（2）证明上述检验法的拒绝域仅依赖于比值（3）求统计量

在原假设成立下的分布.

【答案】样本的联合密度函数为

参数空间分别为

下参数的最大似然估计

为

则似然比统计量为

而

在

由微分法容易求出在

下参数的最大似然估计

为

由求导可知，函数为

或者

这就证明了（2）的结论.

为先减后増的单峰函数，故此似然比检验拒绝域可等价写

注意到指数分布、伽玛分布与卡方分布间的关系，可得

第 4 页，共 41 页