2017年武汉科技大学管理学院831概率论与数理统计考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
是来自正态分布
的样本, 证明,
在给定
是充分统计量. 的条件密度函数为
【答案】由条件,
它与
无关, 从而
是充分统计量.
, 且X 与Y 独立,
则
的特征函数, 由唯一性定理知
2． 试用特征函数的方法证明/分布的可加性:若随机变量
【答案】因为
所以由X 与Y 的独立性得这正是
分布
3． 投掷一枚骰子，问需要投掷多少次，才能保证至少有一次出现点数为6的概率大于1/2?
【答案】设共投掷n 次，记事件则
由
得
两边取对数解得
所以取n=4，即投掷4次可以保证至少一次出现点
为“第i 次投掷时出现点数为6”，i=l，2. …n.
数为6的概率大于1/2.
4． 设随机变量序列独立同分布, 数学期望、方差均存在, 且证:
【答案】这时
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试
由辛钦大数定律知结论成立.
仍为独立同分布, 且
5． 设从均值为方差为的总体中，分别抽取容量为的两独立样本，分别是
这两个样本的均值. 试证，对于任意常数a , b （a+b=l），数a ，b 使Var （Y ）达到最小.
【答案】由于
是容量分别为
都是的无偏估计，并确定常
的两独立样本的均值，故
因而
这证明了又由a+b=l知，
是的无偏估计.
从而
由求导知，当
时，
达到最小，此时
这个结果表明，来自同一总体的两个容量为^和&
的样本的合样本（样本量为
是线性无偏估计类
6 设．在, 且N 与
中方差最小的.
存）的均值
为独立同分布的随机变量序列, 且方差存在. 随机变量N 只取正整数值, 独立. 证明:
【答案】因为
所
以
7． 试分别设计一个概率模型问题，用其解答证明以下恒等式
（1）（2）
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（3）
【答案】设计如下的试验，计算相应的概率，即可证得相应的恒等式.
（1）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，不放回. 试求迟早取到白球的概率.
因为袋中N 个球中只有m 个白球，在不放回抽样场合，可能第1次抽到白球，或第2次抽到白球，……，或最迟在N-m+1次必取到白球，若记
为第k 次取到白球的概率，则有
且
即
对上式两边同乘N/m即得（1）. 而（2）（3）两个等式可在如下设计的试验中获得证实. （2）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，若取出白球，则放回；若取出的不是白球，则换一个白球放回. 试求迟早取到白球的概率.
（3）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球后放回，若取出的不是白球，则不仅放回，且追加一个白球进去. 试求迟早取到白球的概率.
8． 利用特征函数方法证明如下的泊松定理:设有一列二项分布则
【答案】二项分布因为而
9． 设
的特征函数为, 所以当
时,
则
正是泊松分布的特征函数, 故得证.
是来自
的样本，α＞0已知，试证明，
是
于是
所以λ的费希尔信息量为
这就是说
的任一无偏估计的C-R 下界为
又
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,
其中
的有效估计，
从而也是UMVUE.
【答案】总体Ga （α, X ）的密度函数为