2017年太原理工大学数学学院883概率论与数理统计考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设二维随机变量（X , Y ）服从单位圆内的均匀分布, 其联合密度函数为
试证:X 与Y 不独立且X 与Y 不相关 【答案】先求边际密度函数
所以由又因为
和
知X 与Y 不独立.
在对称区间上是偶函数, 故
从而
所以X 与Y 不相关.
2． 从正态总体
中随机抽取容量为100的样本，又设的先验分布为正态分布，证明：不
，由共轭先验可知，的后验分布仍为正态分布由于n=100，所以
故，不管先验分布的标准差为多少，后验分布的标准差一定小于1/5.
3． 设
独立同分布，其共同的密度函数为
（1）证明：（2）计算
和
的均方误差并进行比较；
的估计中，故
最优.
这说明是则Y 的密
都是θ的无偏估计；
其
管先验分布的标准差为多少，后验分布的标准差一定小于1/5.
【答案】设的先验分布为中
（3）证明：在均方误差意义下，在形如【答案】（1）先计算总体均值为θ的无偏估计. 又总体分布函数为度函数为
这表明
也是θ的无偏估计.
（2）无偏估计的方差就是均方误差. 由于
故有
又
从而
由于（3）对形如
因此在均方误差意义下，的估计有
优于
故
因此当
时，上述均方误差最小. 所以在均方误差意义下，在形如
的
估计中，最优.
4． 设随机变量X 的密度函数p （x ）关于c 点是对称的，且E （X ）存在，试证：
（1）这个对称中心c 既是均值又是中位数，即（2）如果c=0，则
因此
所以得
又由
所以
（2）当c=0时，
【答案】（1）由p （x ）关于c 点对称可知：
由此得
由此得结论.
5． 设P （A ）=0.6，P （B ）=0.4，试证
【答案】
6． 证明:若与
【答案】由F 变量的构造知立, 因此F 变量r 阶矩为
, 其中. 由
且v 与W 相互独
容易算得
则当
时有
由此写出E （F ）
从而可得当r=l时, 只要
就有
在其他场合, 不存在.
当r=2时, 只要
就有
7． 设
则
为独立的随机变量序列, 证明:若诸服从大数定律.
的方差一致有界, 即存在常数c 使得
【答案】因为
所以由马尔可夫大数定律知
服从大数定律.