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一、证明题

1． 证明:若f 为周期函数, 且

【答案】用反证法. 设f 的周期为作数列

则有

由归结原则知.

这与题设矛盾. 故

2． 证明下列函数在指定区间上的单调性:

（1）（2）（3）

【答案】（1）设故（2）设

在

上严格递增.

那么,

由

可得

于是增.

（3）

, 则

所以

那么,

故

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则假设

则存在

使得

上严格递增; 上严格递増; 上严格递减.

那么,

由此可得. 即故在上严格递

在上严格递减.

二、解答题

3． 计算下列向量场A 的散度和旋度:

（1）（2）【答案】 （1）

（2

）

4． 设

（1）求f 的傅里叶级数展开式; （2）讨论f 的傅里叶级数在【答案】（1）由于f 在

上是否收敛于f , 是否一致收敛于f? 上为奇函数, 故

所以f 的傅里叶级数展开式为

（2）因为f 在

上除x=0外都连续, 故当

又当x=0时, 级数收敛于

当

时, 级数收敛于

由此可见, f 的傅里叶级数在由于f 在

连续性相矛盾, 故f 的傅里叶级数在

5． 求下列极限（其中n 皆为正整数）.

（1）（3）

（2）（4）

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,

, 且时, 有

上收敛于f.

上一致收敛于f , 这就与f 的不

上不一致收敛于f.

_上不连续, 由连续性定理, 若级数在

（5）【答案】 （1）（2）（3）

（4）由公式

得

（5）由性知得

6． 计算积分

, 其中D 是x=0, y=l, y=x围成的区域. 可知, 当

故

时, 有

. 当

时, 有

根据迫敛

【答案】由题意知, 所求的积分为

7． 设

（1）若在某（2）证明:若例如, 取

内有则在某

内有

保不等式性只能从则在0的任一空心邻域

内

问是否必有

推出

但

.

? 为什么?

【答案】（1）不一定有

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